Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
sulterande temperaturfunktionen som exakt uppfyller
gränsvillkoret skulle således kunna skrivas
00
x2-\-(y + b)’
Teknisk Tidskrift
00
Jbe-"bdbJ
T = ±jlog.
x2 +
■ ju (b) ■ db
där det gäller att finna ett uttryck för fi (b).
Man har
dT
dy
v.
-i
y-
+ {y +b)’’
■ fi{b)db —
y
x2+y
db
och kan skriva
T
+
T = \ { I [- °k e kb log, (x2 + (y + 6)»)] +
o
CO
7 c y + b -kb „ C . „1
och, då den första och sista termen ta ut varandra,
y + b
x2 + [y + b)’
e db
(2)
32 r
dx2
32 r
2 2/2
= O
(3)
e=o
00
p y=° p o
z2 +
(sålänge x ‡ 0)
y=o
b — x
e
db =
10
00
c
= 0
æ2 -}- b2
SO
^ —xft ttt
e 1.2
~ C —"b ,1 X
= C j e db arctg- =
arctg db
= | Jloge [x2 + {y+b†-].^b)db.
o
ao
— ^loge{x* + y*)^ fi[b]db
Om man observerar att derivatorerna med avseende
på y och b av den kända faktorn i integranden äro
lika och att dessa faktorer vid en partiell integration
övergå i varandra, ligger det nära till hands att
försöka ge den okända faktorn formen av ett
expo-nentialuttryck, som behåller sin form vid de partiella
integrationerna. Sätter man sålunda
„ —kb
fi{b) = C • e
får man
När q går mot noll går arctg f^j mot noll, oberoende
av värdet på b, hur litet detta än må vara. Hela
värmemängden är således
3 C
q — n k • —
y,
varav värmekällans konstant
C = — • q
71 X
Genom ombyte av variabler, i det man sätter
xb = z, xx — u och xy — v, antar integralen (2)
formen
T =
■ k J u2 -f (v +
e z ds
För att komma till ett explicit uttryck för
temperaturfunktionen — för sådana värden på
koordinaterna åtminstone att man kan reda sig praktiskt —
kan man använda sig av likheten1
v -f z
- (v -f* z) oc
U2 -f- (V -(- S)2
eos (uoc]doc
och transformera integralen genom att vända
integrationsordningen. Man får då
T =
eos (uoc]d oc
— v oc — (1 -†- oc) z
e dz
Man ser att gränsvillkoret uppfylles i alla punkter
av æ-axeln utom origo, om man sätter k — x.
Då integranden uppenbart tillåter derivering under
integraltecknet så länge x O eller, i annat fall, y
har ett positivt värde, ser man lätt att den av
in-finitesimaluttrycket (2) bestämda funktionen också
satisfierar ekvationen
71 k
— voc
e eos u oc
1 -f a~ "
d oc
Den är tydligen ändlig och kontinuerlig överallt
utom i origo och på negativa »/-axeln.
Den från gränsytan bortledda värmemängden utgör
per längdenhet av värmekällan
00
Man kan lätt verifiera att integralen, vilken
liksom (2) är en kontinuerlig funktion av u och v
överallt utom i origo och på negativa v-axeln och tillåter
derivering under integraltecknet, satisfierar såväl
differentialekvationen (3) som gränsvillkoret (1). Man
finner därvid att
dT m q v
d v
Til U2 -1~ V2
Genom ombyte av variabel, då man sätter
■ oc — ß, får man
T = e» f.
Tik l
eos u
~ȧ o
r e eos up
sinw
ß
8 sin u ß
dß +
ß
i Se riemann-weber : Differentials!, d. mathem. Physik.
17 jan. 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
