Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
Med hjälp av (48) och (49) insatta i (29) kunna
spänningarna beräknas i detta liksom vid föregående
belastningsfall. Man finner, att de maximala
påkänningarna nu som då uppträda vid balkens mitt. På
grund av (47), (48) och (49) komma koefficienterna
An och C„ att avtaga som 1/w5 och därför
koefficienterna i axo, oy0, rxyo, Mxo och My0 enligt (29) att
avtaga som ijn?}. Man kan göra limesövergången § = 0
termvis och får då Fouriersserier med koefficienter,
som avta som 1/w2, och alltså framställa kontinuerliga
funktioner. Påkänningarna bliva överallt ändliga,
trots verkan av den koncentrerade lasten, vilken som
bekant skulle alstra oändliga påkänningar i en
oförstärkt platta. Emellertid visar (29), att termerna i
Ty,, avtaga mindre snabbt. De förhålla sig i själva
verket för stora n som termerna i serien
6. Likformig belastning på plåten.
I detta fall tillkommer högra ledet i (2). Yi antaga
alltså q (x, y):
I stället för ansatsen
+
: q — konstant.
(25) för w användes nu
_ q (5ll l2x2 xl
" = D V384 ~ 16 ^ 24)
+ l’ An (1 -\-nn yjl) ë~n7ty]l eos n n xjl (55)
Utvecklas den första termen i (55) i Fouriers serie av
formen
sa
’•äller
2’ w„ eos n 71 xjl
w„ = l’ (», -r An) eos n n x/l
(56)
’sin H7tf eos n n xjl
f
n
multiplicerade med en dimensionsbehäftad konstant.
Av intresse är här att undersöka gränsvärdet
lim S (i, o) och funktionen S (o, x)
s=o
Dessa matematiska problem kunna lösas med en
metod, som jag utvecklat på annat ställe7. Man
utvecklar härvid funktionen s — § log |£| i Fouriers serie av
typen a„ sin tc g i intervallet § — 0––1/;2. I båda
n
de intresserande fallen visar det sig, att Ty0 blir
logaritmiskt oändlig vid origo (och för övrigt på hela
belastningssträckan), då g går mot noll. Detta
antyder, att de skjuvspänningar, som svara mot
tvär-krafterna Tx och Ty i plåten, i detta fall bliva stora
och att lokal flyttning av detta skäl
kan befaras i Övergången mellan plåt
och balk vid origo. Analogt skulle t. e.
vid en betongkonstruktion kunna befa- ___________________
ras sprickbildning i detta område. Vid som i detta
fall statiskt bestämd yttre last är det av intresse att
få veta, hur förstärkningsgraden
förändras i händelse av lokal flytning på
grund av böjningspåkänning i plåten
nära kraftangreppspunkten. En
uppskattning på säkra sidan fås, om man antar Myo vara
noll längs hela balken. I så fall modifieras ansatsen
och detta värde införes jämte (29) och p = 0 i
randvillkoren (15) ocli (16). Då erhålles
"(3-v)(l + v) hl e*hV\
4 Ann
An —
wn
’A.
Inn.
(57)
D le (1 —v)wn
lnnA„
(58)
För att finna uttrycket för wn utgår man bäst från
att, enligt (2) och (47) i specialfallet g := 1/2,
dl
dxi
.t
w„cosnnx
q 4 q v’ sin n n!2 eos n n xß
1= ——-> ’
—-’ d TT n Z^ m
nT>L,
n n
alltså efter fyrfaldig integration
4 qll sin nnj2
n
w„ =
1)715
Införes (57) och (59) i (56), så fås
16gZ8^’[~(3—v)(l-f vj
Wq 7 ’
hl
Ann
sin nn/2 eos nnxU
(59)
(60)
vilken serie som synes konvergerar mycket snabbt.
Härav erhålles krökningen
d2w0
dx2
16 ql3\r>’
nA El L
(3-
4 Ann
sinrøjr/2 eos nnxjl
]-
A„
(61)
(25) till
w = T An\
n L
varmed fås
1 +
1+v
jt n yjl 11
— n.i y/I
eos it n
xjl
T„ =
(1
4
För att få motsvarande storhet i det fall, då
skiv-spänningstillståndet försummas, har man att i (61),
samtidigt som / ersättes med /, att insätta e — 0.
Den på balken i detta fall kommande lasten är i
motsats mot de båda föregående belastningsfallen
statiskt obestämd och lika med 2 Tyo per längdenhet.
Förliknas de båda uttrycken på krökningen, fås
2 Dn3
l3
l’n3An \ 1+:
"I
e~njtyllcos nnxjl
1 — v nn\
3 + r" T
och detta uttryck överensstämmer för y = 0 med det
som erhålles ur (29) så när som på den framför
stående faktorn (1—v) (3 -f- v)/4, som blir—0,58 för
v = 0,3. Hela den räkning, som för fram till i — ljl,
blir då helt analog med den som förde till (54), endast
skall i (50) den term, som innehåller D och
representerar inverkan av plåtens böj styvhet, minskas i
proportion till den ovannämnda faktorn, dvs. med ca
42 %. I verkligheten bleve minskningen betydligt
mindre, då ju flytningen är av lokal karaktär. Dess
inverkan på % torde alltid kunna försummas.
16 ql3
nFEl
I’[
(3—v)(l-\-v) hl 1 sinnnj2cosnnx/l
’ +
Ann\
lQqlz^sinnnj2 eos nnxjl
’El
f"l+—1
L 1 ElnnA
varur i—ljl som funktion av x.
för x — 0 fås
sin n n/2
Elnn_
Speciellt i mitten
IV
1+
4 Dl
Elnn
V’p—")(! + ")
hl 1
Ann A
sin n n/2
Ann4
(62)
34
18 april 1942
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
