Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 4. 23 jan. 1943 - En ny metod för grafisk integration, av L Högberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
tematiska härledning, överträffa andra liknande
metoder.1 Även för föreliggande metod gäller, att det
i vissa fall kan vara lämpligt frångå den likformiga
abskissindelningen och i stället välja intervallen med
hänsyn till den förelagda kurvformen; som villkor
kvarstår endast att abskissindelningen för
hjälpkur-van v (t) förändras enligt det givna förhållandet
mellan dess abskissa t och x.
Fig. 4 åskådliggör en rent grafisk beräkning av
tyngdpunktens läge, räknat från en vertikal axel
genom A. Först erhålles genom nyss behandlade
konstruktioner v1 och v2, representerande ytinnehåll och
tyngdmoment. Punkten v\ förbindes med A genom
en rät linje, varefter punkten v., förskjutes
horisontellt till sammanträffandet med denna diagonal i
punkten vs’. Av fig. 4 framgår omedelbart att
v, ÄÉ
Vl
AB
: AE
Eftersom AB = i AD och dessutom för a — (I
i
$xy(x)dx — \vt
o
erhålles uttryckt i de enheter, som bestämma
storleken av AD:
Vi
2 v\’
Tyngdpunktslinjen inkommer alltså direkt med sitt
rätta läge i figuren.
Samma figur åskådliggör även den grafiska
konstruktionen av dubbelintegralvärdet för kurvan y (x).
Införandet i det ursprungliga integraluttrycket av
f ix) — y [x) lämnar som abskissvärde för
hjälpkur-van v (x)\
’ = Jy^dx S*y <*> dx = x~ ]yWdx {X) dx2
Efter införande av integrationsgränserna 0 och 1
erhålles
i l
J"J’y [x) dx* = (1 — tt) jy (x) dx = { 1 — tx) vx (1)
o o
I fig. 4 motsvaras t1 av sträckan AE. Nu förskjutes
punkten vx horisontellt till sammanträffandet med
ordinatan genom A i punkten vx’, vilken i sin ord-
i C Runge — Pr A Willers, Numerische und graphische
Integration, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften,
Leipzig 1915. Band II: 3, Heft 2.
ning förbindes med punkten D genom en rätlinjig
diagonal. Som omedelbart framgår av figuren
representerar denna diagonals skärningspunkt med
tyngdpunktslinjen genom E det sökta dubbelintegralvärdet
för kurvan y {x).
Av utrymmesskäl skola vi förbigå konstruktionen
av integralkurvan för det ursprungliga
integral-uttrycket; för vissa ovan behandlade former av
funktionen f [x) ställer den sig mycket enkel. Istället
skola vi i korthet behandla de konstanter som ingå
i de fourierska serierna.
En ny variabel z, förenad med x enligt relationen
1 — x = 1 : F (2), införes i differentialekvationen
dv[x) y(x) — v [x)
dx 1 — x
vilket ger integraluttrycket
o a z o
För F (2) = c -f- sin kz erhålles:
z 1 z
§y (2) eos kzdz = - \v (z) (c -f sin kz)]
o * o
eller för den fourierska seriens cosinuskoefficienter
2 n
1 r c
ak = - y [z) eos kz dz = — v (2 n)
o
För F (z) — c — eos kz erhålles vidare:
z 1 z
j’y [z) sin kzdz = [v [z) (c — eos kz)\
o * o
eller för samma series sinuskoefficienter
2 71
c — 1
y [z) sin kzdz— —— v (2 ri)
K 71
Av fig. 5 framgår den grafiska konstruktionen. Alla
^/-värden förskjutas horisontellt till en gemensam
ordinata, och härifrån konstrueras integralpolygonen
med hjälp av en abskissindelning för x enligt
nyssnämnda relation 1 — x — 1 : F (z). Enligt de
trigonometriska funktionernas natur blir denna indelning
likformig i de bägge behandlade fallen — endast
origo förskjutes. Samma indelning gäller även för
de högre harmoniska komponenterna med en till
ordningstalet svarande multiplikation av
abskissin-tervallen. I fig. 5 har c = 2 valts som ett för
konstruktionen lämpligt konstantvärde.
f B
Fig. i
30 jan. 1943
35
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
