Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 29. 17 juli 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats för lösning av linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk. Tidskrift
varvid
2>r
i n J
Härav fås
k Fn[X, fi) Z„ (|/fi2 — i 4, n) =
+ 00
— 00
varav som vanligt
u [r, z, 95, 0 =
+ 00 +00
.ti* k ^
n=—00 —00
e’«<pew-oew-*>d1>dCdXd/t
För att kunna utföra integrationen
integrera vi först i A-planet och sätta p2 = p? — i
dX~’2id2pdp. Integrations vägen ändras därvid
till vägen L i p-planet (fig. 4). Betecknas noll-
3
ställena i p-planet till ~— Zn (p r 1) med p„, m,
a n
så fås
+ 00
Z„ ^ ~ ~2 r
e dX = 4 yra2
2
1 Pnf m
n — i^n
Zn (pn, m r)
a>
a" 3 Zn (Pn, m ri)
Pn,m° T 1
Härvid betecknar tecknet Z1 att summationen
skall utsträckas över alla m för vilka pn, m > fi.
Vi övergå nu till integrationen i ,u-planet och
införa för korthetens skull beteckningen
Zn (pn, m r)
Pn,m—g g
a^ Zn (pn, m Ti)
P», m O n
Då fås
+ 00 , i<fi(z-£) + a*ft’(t-&)
Ina2 .f Vfn.m^t —
—oo m
Vi anta för enkelhets skull, att q[z, <p, t) är en
jämn funktion av z, och införa beteckningen
Pn,m a’fi’(t — #)
J e ’ COS fi [z— O d fi = An, m[z — t —
o
Då fås, under förutsättning att
integrationsordning och summationsordning få omkastas,
00
4 Jia2 I An, m[z-£,/ — #) /n, m[r, t — ■&)
m = 1
och därmed slutligen
+00 00 1 +00
u [r, z,cpt)= ^ ^ J J a« (C) An, m
n=—oo m=l o-oo
(2 — f, f — /„, m[r,t–d)dftd
Exempel U. I vissa fall kan det vara
fördelaktigare att använda Besselska funktioner än
exponentialfunktioner i (5). Som bekant gäller
för en funktion f(r), styckvis kontinuerlig och
med styckvis kontinuerlig derivata, och så beskaf-
00
fad, att J r|/(r)|dr existerar (se t.ex. Courant-—
Hilbert I°s. 424)
00 00
f[r) = Spdpfgf[Q) Jn[pg) Jn[pr]dQ (8
o o
Denna formel kan direkt härledas ur (5) genom
införandet av polära koordinater.
Vi tillämpa (8) på problem 2, varvid vi för
enkelhets skull sätta f[x, y, z) = o. Vi lägga
z-axeln i den tidigare y-axeln och r^-planet i det
ß u\
tidigare æz-planet. Då är randvillkoret k yg^j =
= q(r, tp, t). En partikulär lösning är liksom i C
Zll / 2 1 * X \ i/tz in<p ill
nil/ fl + i a2 TI e e e
eller med andra beteckningar
—a’ p’
e =fn,m[r,t—ff)
Zt \ 1 Vp’-M~,z inrp ilt
n[pr) e y ^ a’ e e
För att u skall vara ändlig för r<= o fordras, att
Zn [pr) — Jn [pr). Av samma skäl som i problem 3
måste n vara heltalig. Den allmänna lösningen
är alltså
+00 +00
u[r,<p,z,t) = ^ JJ Fntt, p) Jn[pr)
n=—æ —00
Härav fås
i Vp’+i—.z incp ii t
y a’ e e dXdp
+ co +00
= * 2 jj}/p° + i*,Fntt,p)
n = 00 —00
Jn [pr) ein<p e1’"1 dXdp —’ q[r, 95, t) =
Fig. i.
I a„ [r, t) e
incp
17 juli 1943
345
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
