Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 29. 17 juli 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats för lösning av linjära partiella differentialekvationer av andra ordningen, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
2 ix
varvid a„ (r, f) = — g (r, yj, t) e~’nW dip
i TI J
O
Nu är
+ 00
an (r, tf = JJ a„ (r, tf) e’il(t ~*> d A d 0
och
00
a„ (r, &) = £fa» (ß, (?) gp ./„ (p g) Jn (pr]dgdp
o
och alltså
+oo 2jz oo+oo
q(r,cp, t)= ~ ^ f jjj f q (g, xp, ft)g p Jn(pg)
n =—oo o o—oo
in(f-rp) H(t-#)
Jn (pr) e e dydpdgdft dl
Härav fås
2.1 ocfoo
* i |/V2 + ’ ja Fr, U, p) = 2-i / |J <? V’
O O —00
— inV — iW
pgJn[pg]e e drp dg dft
och
+oo 2* 0000 + 00
o-^i I JJJJJ:^
n = — æ o oo—oo [ I / n2 i : "
y p ■†■1 a2
a
, t \ , i \ in(f-ip) ii(t-») ,Vp’ + /4
pgJn[p g) Jn (pr) e e ’ e i a’
dy dg d p dX dft
Efter en integration i A-planet fås
+ 00 27100 + 00 I
, ,, V ff f f äfe-JV?)
2 J JJ J
n = — oo oooo
e ^<>^e-a’P’(t-*> pgJn(pg)JApr)ein<r-^
dy> dg d p dft
För enkelhets skull insätta vi häri en speciell
funktion q(r, cp, t), så beskaffad, att q är
oberoende av cp, q (r, t) — o, då r > r0, samt q (r, t) =
= q (t), då o < r < r0. Då blir med n — o och med
ro
jgJo(pg)dg = - Ji (p r„)
o
o o
— a2pJ(i—tf)
Ji(pr0)J0(pr) e dftdp
Nu är6
oo .
Ji(pr0)J0(pr)= |proj (—1)"’
2
m = o
m\r(m + 2) \2pr°/
och alltså
00
/J1(pr<1)J0(pr)e-a2pHt-^dp =
o
ir mir(m+2)
m — o
00
/1 \2m f _a2p2((-!>) 2m + l ,
(2 W Je P
0
Vidare är
o
00
=_1 f — s m . _ m!
och alltså blir integralen
» p(_ b,,
-r(m + 2)
m = o
(i \2m __i___
Alltså är
i 2 00
1 K 71 JK? — ë
o m — o
l r2\ /I \2m + 1
FI — m, —1—m;l;—j| lr„
I_a \m ___ro ’ __J n
(m + l)T [a2 (f— #)]m+1
eller
-.....JmTW-
m=o
/i )-+». f —
o
Det ligger i sakens natur, att en universalmetod
ej kan vara speciellt tillrättalagd för varje
speciellt problem, kanske inte ens för något speciellt
problem. Påtagliga svagheter hos den här
behandlade metoden äro, att den leder till besvärliga
integrationer, och att integrationsresultatet anger
lösningen i svåröverskådlig form. Den kan
emellertid tillämpas även på komplicerade problem,
där lösningens svåröverskådlighet härrör från
problemets egen natur och icke kan läggas
metoden till last.
I exempel 1 äro dessa svagheter särskilt
iögonenfallande. Betydligt enklare räkningar och
17 juli 1943
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
