Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 38. 18 sept. 1943 - Tillämpning av Fouriers integralsats på linjära partiella differentialekvationer, av Owe Berg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk. Tidskrift
IOi (x, t) = w2 (x, t) =
2 1/ P T_
n-El a2 L2
^ sinnjz
n=l
n2 71*
Wi (», f) = —
I
1 p* *
1 — eos „ t
a2 L
[ . + * . , L-j-x
eos p« sinn p„ ——–sin pncosh pn––
L — i . L-»
— eos pn—j—sinn pn , +
L L
, . L~i , L—* . f—«
sm p„ —-— cosh p„ –-sinh p„ –-
Li ij jL/
i x £ x
— sin pn — cosh p„ — + cosp„ — sinh p„ — —
i L-| L —r
— sinh pn —r— eos pn —–-h
, , L —g . L—x
-†- cosh pn —-— sin pn —z–r
L L
sinh pn eos pn
L — i—x
W2(L,t) =
00
4PL3 v
1 — eos
Pn2/
fi/ Z, Un (eos pn sinh p„—sin p„ cosh pn)
n=1
| eos pn sinh p„ ^ — sin p™ cosh pn ^ +
l—i L—i
-sin Vn r––sinhp,,—f—
b"
och för x — i
w[i, t) =
(
2 PL’
El
cosh Vn sin Vn
(14)
00 V
Z n —1
1 — eos
t)
a2 L2 7
Pn4 (eos pn sinh p„— sin pn cosh p«)
* De numeriska värdena pk p„ finnas i Eiide : Tafeln
elemen-tarer Funktionen, s. 131.
eos Vn sinh Vn — sin Vn cosh Vn —^
L — i L — i
+ 2 Sin Vn -T— cosh Vn-7— -
-2f
sin nn " sin „ t (12)
L a L
Om balken i stället är fri i änden x —L och
inspänd i änden x=o, blir lösningen
-f L — f
— sinhPn j
— 2cOSP„
ii lf
2 sin Vn ^ cosh Vn jr + 2 eos Vn sinhp» ^ ~
2PL
El ^ pn4 (eos pB sinh p« — sin p«cosh pn)
n=l
— cosh Vn sin Vn -f~ sin Vn eos Vn
Den statiska nedböjningen är
(X3;
w [x) = — — — )
2 i
(15)
x<i
J^ _ fz j Qfc £
— cosh pn sin pn-z–b sinh p„ — eos pn -j —
L L L*
£ x i_x 1
— cosh pn jr sin p„ L + sin pn L i (13)
Uttrycket för w2 (x, t) erhålles om i (13) i och
x byta plats. Härvid äro pn rötterna till ekvationen
1 + eos p cosh p= o*. Speciellt fås för x — L
6 fi/ j 3 | \ (16)
Pn2
Utbytes faktorn 1 —eos ^ 1 mot faktorn 1 i
uttrycken för wx (x,t) och w2 (x, t) i ekv. (13), så
skola de så erhållna serierna överensstämma med
w (x) enligt ekv. (16).
Om kraften upphör efter tiden 1, så erhålles för
t> t2, w (x, t) = w (x, t) ■—w (t — t), dvs. fak-
Pn2
torn 1 — eos t skall utbytas mot faktorn
Pn Vn
eos 2 — T) — cos q2/2
Omstöttidenrärmycket liten i förhållande till svängningstiden, blir
utböjningen proportionell mot impulsen Pr. I detta
p«
fall skall faktorn cos — t) — cos
a L2 a
2 2
bytas mot faktorn rsin 1.
Pn
t ut-
Ur den ovan härledda lösningen för en
punktformigt angripande kraft kan lösningen för
en utbredd kraft beräknas genom superpone-
X
ring. Man får då w (x, t) — J w2 (f; x, t) di +
o
l
J Wi[i; x, t) di, varvid för P (t) insättes funk-
x
tionen P (i, t), då P (x, t) är belastningen per
längdenhet utefter balken.
Vi betrakta nu det allmänna endimensionella
fallet
3"w , 3"—1 w
On— 1
dxn
3a;"-1 +
3 w
37
■w
+ a„ w +b2 ^-j- +
bi Vr = <P (x, t)
(17)
Koefficienterna a„, bn behöva ej vara konstanta
utan kunna vara funktioner av x resp. t.
En partikulär lösning till den homogena
ekvationen må vara X (A; x) eü l, varvid A är en
parameter. Denna funktion innehåller en arbiträr
konstant, som vi kalla F ß).
11 sept. 1943
445
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
