Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 38. 22 september 1945 - Sammanlagring av varaktighetsdiagrm, av Arne Bergholm
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
1038
THiKNISK TIDSKRIFT
lande två konstanter, nämligen medelvärdet och
spridningen. I så fall kan givetvis också
frekvens-kurvan återges med hjälp av en frekvensfunktion
innehållande samma konstanter.
Medelvärdet av en statistisk variabel x definieras
som æ-koordinaten för tyngdpunkten av den yta,
som begränsas av frekvenskurvan och x-axeln.
Medelvärdet av x betecknas M {x} eller u.
Medelvärdet kan antingen bestämmas med hjälp
av varaktighetsdiagrammet eller också direkt ur
de uppmätta värdena.
Bestämningen av medelvärdet ur
varaktighetsdiagrammet utföres genom numerisk eller grafisk
integration av ytan mellan F-axeln, linjen F r= 1
och fördelningskurvan. Denna yta, som i fig. 9
markerats genom streckning, är lika stor som
ytan av rektangeln mellan axlarna och linjerna
x f= u; F \= 1.
Om frekvenskurvan är symmetrisk som i fig. 9.
så är /t det x-värde, som motsvarar sannolikheten
F — 0,5. Ofta torde man i praktiken med
tillräcklig noggrannhet kunna bestämma medelvärdet på
detta enkla sätt.
Ur de uppmätta æ-värdena kan ja beräknas
såsom medeltal av samtliga värden
-f X-i + X3 + ... 4- Xn
n
Om man har ett antal uppmätta värden på två
varierande förbrukningar x och y, är det
självklart att
medeltalet av (a: + y) i= (medeltalet av x)
-j-+ ( medeltalet av y)
Allmänt gäller
M{x+y} = M{x} + M{y} (1)
För att beskriva en fördelning behövs förutom
medelvärdet ytterligare minst en konstant, t.ex.
spridningen, som omtalar hur de olika värdena på
en statistisk variabel äro spridda omkring
medelvärdet. Spridningen (a) definieras av ekvationen
o*=M{(x — fi)2}
o utgör således ett mått på huru mycket
^-värdena i allmänhet avvika från medelvärdet ju.
Om man har tillgång till de ursprungliga
mätvärdena xu x2,.. xn, beräknar man o genom att
ta medeltalet av värdena — ju)2, (x2— /t)2, .. . ,
{xn —ju)2 och sedan dra roten ur det erhållna
talet
a (x2~ + (Xn — fl†
Om man har tillgång till fördelningskurvan för
x, beräknas a2 genom numerisk eller grafisk
integration
02==^x_JblydF
6
Vid en "normal fördelning" kan o bestämmas
mycket snabbt ur varaktighetsdiagrammet.
Skillnaden i æ-koordinat mellan sannolikhetsvärdena
F<= 0,159 och Fr= 0,841 är nämligen 2 o (jfr
fig. 9).
Förut har medelvärdet för summan av två
statistiska variabler (förbrukningar) x och y angivits.
Det återstår nu att beräkna spridningen för den
sammanlagda förbrukningen (x + y). Denna
spridning är emellertid i motsats till medelvärdet
beroende av huruvida x och y äro korrelerade
eller ej (jfr fig. 8). För att man skall kunna
uttrycka spridningen för (æ + y) med en formel
fordras därför, att man skaffar sig ett mått på
korrelationen.
Ett sådant mått på korrelationen utgör
korrelationskoefficienten q, vilken definieras som
o = M {(æ — ,ux) (y — ny)}
Ox Oy
q är ett dimensionslöst tal och därför icke
beroende av enheterna för x och y; det kan anta
värden mellan — 1 och + 1.
Om x och y äro oberoende av varandra så är
q i= 0. Detta kan matematiskt bevisas men även
utan bevis kan man lätt tänka sig, att medeltalet
av ett stort antal produkter
{xi — JLlx) (yi — /Uy), (x2 — JUx) (y2 — jUy)... osv.
vilka lika ofta äro positiva som negativa, måste
vara mycket mindre än produkten av
spridningarna Ox och Oy, vilka var för sig beräknats ur
medeltalet av endast positiva termer.
Om variablerna x och y äro korrelerade, så är
däremot uttrycket M {(x—jux)(y—,juy)} skilt
från noll. För det fall att x och y följas åt (jfr
fig. 3), bli uttrycken [x — jux) och [y — juy) oftast
antingen båda positiva eller båda negativa.
Produkterna
(xi-jUx) (y 1 — ILly); (X2 — fJlz) (j/2-[Xy) ••• OSV.
bli därför nästan genomgående positiva och
korrelationskoefficienten blir positiv.
För det fall, som demonstreras i fig 4, ger ett
liknande resonemang till resultat att
korrelations-koefficienten Q är negativ.
Ett närmevärde på korrelationskoefficienten q
beräknas enklast genom att medeltalet av
produkterna
(xi — jUx) (y 1 — jUy); (x2 — Ux) [y 2 - Uy) . • • OSV.
divideras med ox oy.
Korrelationskoefficienten är i första hand
beroende av vad slags förbrukning det är fråga om.
Genom att använda ett och samma
erfarenhetsvärde på korrelationskoefficienten för t.ex.
vattenförbrukningen per person i bostadsområden får
man i varje fall tillförlitligare
varaktighetsdiagram än om korrelationskoefficienten alltid antas
vara noll.
Med tillgång till konstanterna jux och /ty, ox och oy
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
