Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 43. 27 oktober 1945 - Bewässerungs-Anlagen, av Sture Nyström - Problemhörnan
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
13 oktober 1945
1183
med hänsyn tagen till nederbörd, avdunstning och
av-bördning har sin största förtjänst i de formler över
avbördningen, vilka författaren anför. En intressant del av
avhandlingen behandlar bestämningen av erforderlig
vattenmängd för markytans bevattning under hänsynstagande
till existerande vattenmagasin, växtlighetens vattenbehov
och "läckageförluster" i marken.
Det konstruktiva utförandet av såväl dammar som
kanaler ha erhållit en ingående behandling, beledsagad av
instruktiva bilder, diagram och tabeller. Avhandlingen
avslutas med en beskrivning över några större utförda
bevattningsanläggningar i Turkiet: slättlanden vid Menemen,
Adana och Bursa samt en del synpunkter på organisation
och drift av bevattningsanläggningar.
Den största förtjänsten med boken, sedd ur vårt lands
synpunkt, ligger givetvis icke i de spörsmål, som i boken
beröra Irans och Turkiets speciella vattenbyggnadsfrågor,
utan fastmer i de stora dragen: arbetets uppläggning och
dissekeringen av arbetsuppgifterna. Författaren omnämner
likväl många detaljfrågor, som borde kunna ge de svenska
vattenbyggarna — åtminstone dem som syssla med
bevattningsfrågor och dammbyggnader — en del friska och
färska impulser. Sture Nyström
Genom att från
y = u + 2u2 + 3u* + ...
subtrahera den välkända konvergenta geometriska serien
u
u + u2 + u3 + ... =
1 —u
erhåller man
y
= uä + 2u3 + 3u4 + ...
1 — u
varav genom division med u
- (i/ — -—^—) = u + 2u2 + 3u3 + ... =
u \ 1 — ul
så att
_ u
V = (1 —
Nära besläktad härmed är följande uträkning:
^ = 1 + 2 u + 3 u2 + ...
u
— y = 1 + u + u2 + ... =
u 1 — u
y
Problemhörnan
y =
Problem 7/45, som avsåg beräkning av den oändliga
produkten
m m2 m3 m4
x = \/m- \Jm2 • \Jm* ■ \Jm* ... (m > 1)
har lockat ett förhållandevis mycket stort antal lösare.
Lösningsmetoderna visa åtskilliga varianter. I några fall har
man angripit problemet genom att först logaritmera, vilket
strängt taget är onödigt, ty produkten kan lika väl direkt
skrivas
_L . JL + JL...
„ m m m2 m*
x = m
Problemet reduceras sålunda direkt till ett studium av den
för u < 1 konvergenta serien
y = u ■ (1 + 2 u + 3 u2 + 4 u8 + 5 ul...)
där
1
u = —
m
En rutinerad problemlösare som sign. ög igenkänner i
den inom parentes satta serien omedelbart
binomialutveck-lingen av
_1
(1—~")2
varav
(m — 1)*
x = mK ’
Uttrycket går tydligen mot 1 då m ökas mot OO- Av större
intresse är dock att studera funktionen då m går mot 1.
Vi sätta m <= 1 + £.
Då blir
m . 1 + £
£2
log x
(m - l)2
log m =
log (1 + c) =
1 1 £
=–1––-h
£ 2 6
Log x och därmed x går alltså mot oändligheten då m
närmar sig 1. Å andra sidan är x\= 1 för m i= 1, varför
funktionen är diskontinuerlig för värdet m= 1. Liknande
resonemang ha förts av bl.a. B Kihlgren, L Löfgren,
V G V och "Gillis".
Förenämnda varianter ha väsentligen avsett beräkning
av den konvergenta serien i u.
(1-u)2
Enligt endera av dessa metoder har uppgiften behandlats
av F Töcksberg, N F Enninger, L Felländer, J Flinta och
E Palmblad.
Majoriteten av problemlösarna har emellertid uttryckt y
som följande summa
u + u2 + u8 + u* + ... =- "
+ u2 + u3 + u* + ... =
+ u3 + u* + ...=
+ u* + ...=
1 — u
u2
1 — u
u3
1 — u
u*
1 —u
vilken bildar en fallande geometrisk serie med
totalsumman
_ u
y-(l-u)(l-n)
Hit höra A Norrman, S Simonsson, H Joss, M Grenander,
P Oredsson, P G Mellgren, D Lorentzon, F Schmidt, E L
Johansson, T Ygge, E Å samt "Expoke".
Värdet på y kan också erhållas genom derivering med
eller utan påföljande integrering. Man ser genast att
y = u ~ (l + u + u2 + u3 + ..•)
a u
Udu\l—u) (1 — u)2
I huvudsak efter denna metod har uppgiften behandlats
av hrr ög, C V Jarulf (Köpenhamn), S Kull, A Rinkert,
H Hägglund, N R, Oq och "Pontifex". övriga
problem-lösare ha varit J Tandberg, I Ericsson, E Nilsson, H Nn,
L B samt G V Nordenswan. Den sistnämnde påpekar att
den sökta exponenten y för m = 10 blir det periodiska
decimalbråket 0,1234567901234...
Problem 9/45: På två smala dubbar med det inbördes
avståndet 2 x och belägna på samma höjd är en glatt,
homogen kedja upphängd. Vilken är den minsta möjliga
längden hos denna kedja?
De som mera intressera sig för att evalvera serier
erbjudas alternativt Problem 10/45:
Vad är summan av inverterade värdena av alla heltal
större än ett, var för sig upphöjda till alla heltalsdigniteter
större än ett?
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
