Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 20. 18 maj 1946 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
11 maj 1946
507
Problemhörnan
Problem 5/46 var följande: "Följande serie erhölls vid
behandlingen av ett potentialproblem:
u. i= 1 + x eos x + x2 eos 2 x -f x3 eos 3 x + ...
Bestäm seriens summa då absoluta värdet av x < 1."
Uppgiften kan lösas på många olika sätt. Den snabbaste
metoden synes vara följande:
Till den givna serien adderar man term för term
v i= ix sin x -f ix2 sin 2 x + ix* sin 3 x + . • •
och får då
u + v i= 1 + x (eos x + i sin x) + x2 (eos 2 x + i sin 2 x) +...
Enligt Moivre’s teorem är
u + v i= 11+ x (eos x + i sin x) + x2 (eos 2 x -f i sin 2 x)* +...
vilket för x < 1 är en konvergent geometrisk serie med
kvoten x (eos x + i sin x).
Alltså är
u+v=_i__=;_i_
1 — x (eos x + i sin x) (1 — x eos x)—ix sin x
Genom förlängning med nämnarens konjugatkvantitet
erhålles
u + V\=
1 — x eos x
+ i
1 — 2 x eos x + x2 " "1 — 2 x eos x + x2
Den reella delen härav, dvs. första termen, måste alltså
vara den sökta summan.
Denna lösning har insänts av G Wickenberg. Liknande
lösningar har angivits av N Nilsson, T Krog (Drammen),
sign. ög samt av S Sundén. Den sistnämnde anmärker att
man efter samma metod kan summera den något
allmännare serien
ii 1 + x eos fp + x2 eos 2 <p + ...
varvid lösningen blir
1 + x eos <p
1 — 2 x eos <p + x2
Sagda serie kan åskådliggöras genom en bruten spiral
liknande den i problem 3/46 men med sträckorna
1, x, x2, xs...
En annan lösningsmetod för prcMem 5/46 är följande:
Enligt Euler gäller
+ e-
-ix j
1 / •
eos x i= — ^ etx
x eos x i= ~ |x eix + x e—ix J
’eos 2x.= ^-[(ze’*)2 + "(« e-’*)*]
För x < 1 har vi alltså att göra med två konvergenta
geometriska serier, vilkas kvoter är resp.
qt i= x eix och qs == x e~ix
Totalsumman av dessa serier får efter några enkla
räkningar formen
1
| eix -f- e—h
— ~ (eix + e~ixj + x2
1 + x eos x
1 — 2 x eos x + x2
Lösningar av denna typ har insänts av bl.a. A Lystinen,
T Ygge, A Norrman och J-E Jansson, övriga problemlösare
har varit U Olsson, N F Enninger, C Kohlström, B Hedin,
O Jacobsen (Aarhus), F Töcksberg, K A Wingårdh, A Fz,
J Tbg samt P-E Aalto, vilken sistnämnde har kompletterat
sin lösning med här återgivna nomogram.
I detta sammanhang
må återges en från ing.
G V Nordenswan
inkommen undran
avseende den till
lösningen av problem 3/46
(den brutna spiralen)
angivna
ortsekvationen för punkten P.
För <p—-*0 erhölls här
x —>- oo, varvid y asym
-totiskt närmar sig vär-
JZ
2’
lertid
det
"Om man
emel-avsättfir sträc-
korna 1, ^ osv. med
cp i= 0, kommer ju
delsträckornas ändpunkter aldrig att lämna x-axeln. Man
får alltså x = oo, y ,= 0. Hur är det: irrar det stackars
71 71
y:et omkring därborta i oändligheten mellan och — —
utan att kunna taga vara på sig själv? Eventuellt på
spaning efter ett hyresledigt krökt rum?"
Svaret härpå torde vara att ortsekvationen ej är giltig
för (p = 0.
I problem 6/46 gällde det att med minsta möjliga antal
inbördes vägningar sortera ut en tung kula bland 8 resp.
9 i övrigt alldeles likadana kulor.
Rätta svaret är att man reder sig med 2 vägningar,
oavsett om kulantalet är 8 eller 9.
Man lägger nämligen först 3 kulor på vardera vågskålen.
Erhålles då jämvikt, finns den sökta kulan givetvis bland
de återstående 2 eller 3; har man icke jämvikt, är kulan
i fråga lika fullt lokaliserad till en grupp om 3. Att
bland 3 kulor finna den sökta kan på samma enkla sätt
göras med en vägning. — Är antalet kulor 27, finner man
analogt först en grupp om 9 kulor, bland vilka den sökta
måste befinna sig. Generellt kan man med n vägningar
sortera fram den sökta kulan ur en grupp om maximalt
3" individer.
Kulproblemet har lösts bl.a. av G Wickenberg, B Almén,
T Ygge, P-E Aalto, G V Nordenswan, N Nilsson, A
Lys-tinnen, F Töcksberg, T Krog, C Kohlström, O Kostiainen,
U Olsson, B Hedin, Re, A Fz, KW, J Tbg samt ög.
Om problemet utom tävlan i h. 17 har sign. O A anmärkt
att det är invecklat men kan lösas om:
1. professor Tandberg lägger grundplåt till ny tavla,
2. problemhörnans redaktör lägger grundplåt till ny
talarstol,
3. Teknologföreningens medlemmar bygger flitigt på 1
och 2 så att slutligen
4. summan av 1, 2 och 3 uppgår till 3 800 kr.
Sedan kan föreningens verkställande direktör lösa
problemet.
Problem 8/46. I ett öppet kärl fyllt med vatten till
höjden h ligger på bottnen ett punktformigt föremål.
Beräkna föremålets skenbara läge som funktion av
blickriktningen ot. A Lg
fr
h —
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
