Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 22. 1 juni 1946 - Optimal sträckning av kraftledningar, av H Breinertz och N Helleberg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
552
TEKNISK TIDSKRIFT
Optimal sträckning
av kraftledningar
DK G21.31G.il
I "problemhörnan" (Tekn. T. 1941 s. 231) behandlades
trågan hur tre orter bör förbindas med kraftledningar
för att ledningslängden skall bli den minsta möjliga. Den
teoretiskt mest tillfredsställande lösningen angavs av
civilingenjör H Lavén, se fig. 1. Man antar, att ledningarna
skall bilda ett Y, kallar de tre vinklar, som benen bildar
med en fast riktning, <px, <p2 och <p3 och uttrycker villkoret,
att totala ledningslängden icke skall ändras, därest den
gemensamma punkten flyttas ett litet stycke A i godtycklig
riktning y. Man får
2 A ’ eos (<Pn — y) i= 0
n = l,2,3,
eller
A eos yj • 2 eos <p n + A si» V 2 sin = 0
För att detta skall gälla oberoende av y måste man ha
2 eos <f n — 0 och ^sin9>n = 0
vilket som lösning ger, att de tre benen skall bilda 120°
vinklar med varandra.
Matematiskt är lösningen densamma som jämviktsläget
i det fall att ledningarna utgör snören, gående genom
punkterna A, B och C och belastade med lika stora krafter.
Ett specialfall inträder när en av vinklarna i triangeln
ABC, t.ex. den vid B, är större än 120°. Den optimala
ledningssträckningen är då helt enkelt AB -f BC.
En förutsättning för 120°-lösningens praktiska
tillämpning är, att de lokala topografiska förhållandena medger
den, så att icke ledningarna kommer att gå över sjöar,
höga berg o.d. Lösningen liar icke varit obekant tidigare.
Inom Älvkarleby Kraftverks bygdenät kan man sålunda
se den tillämpad på åtskilliga ställen. På andra håll
förekommer nog ledningsdragningar, som låter förmoda, att
optimivillkoret icke varit känt. Man får emellertid beakta,
att konfigurationen icke kan vara optimal, i den mån
belastningspunkterna har tillkommit i efterhand.
Lösningen kan generaliseras och utvidgas i olika
hänseenden. Tydligen kan den vara tillämpbar även om hop-
kopplingspunkten O jämväl utgör ett kraftavtappningsställe,
t.ex. en transformatorstation, om blott dennas placering
är valbar inom vissa gränser. Med hänsyn härtill behöver
de tre Y-benen AO, BO och CO icke ha samma spänning
utan en eller två av dem kan utgöra lågspänningsledningar,
utgående från transformatorstationen i O.
Strängt taget är det icke minsta ledningslängd, som
önskas, utan lägsta årskostnad. De tre Y-benen kan ha
olika utförande och därmed olika kapital- och
underhållskostnader per kilometer och de har säkert olika
belastning, dvs. olika kostnader för kraftförluster. Noggrannast
är att göra den bästa möjliga prognosen rörande
belastningsutvecklingen m.m. under några år framåt, diskontera
de därmed samhörande årskostnaderna och söka minimum
för totala nuvärdet. Man ser lätt, att detta endast medför,
att vägningsfaktor, kt, ks, k3, proportionella mot resp.
kostnadsnuvärden per kilometer, inkommer i formlerna
ovan, så att slutvillkoren blir
2 kn eos <pn 1= 0 2 kn sin<pn = 0
Innebörden härav framgår enklast om man observerar,
att lösningen, som väl var att vänta, är densamma som
för jämviktsproblemet, blott med den allmännare
förutsättningen, att krafterna skall vara olika, nämligen
proportionella mot klf k2 och k9. Även den geometriska
lösningen erhålles — se fig. 2 — som en direkt
generalisering av den, som angavs i problemhörnan 1941 för
fallet lika krafter (och sålunda triangeln BCP liksidig).
Man uppritar med exempelvis BC som bas en triangel
BCP, vars sidor är proportionella mot ku kz och k3. Om
kt hänför sig till 40, k2 till BO och ks till CO, skall
de representeras av BC, CP och PA resp. Den omskrivna
cirkeln konstrueras. Dess skärningspunkt med AP blir då
den sökta gemensamma punkten O. Påståendet bevisas
lätt av att vinklarna vid O är lika med yttervinklarna till
den slutna "krafttriangeln" BCP.
Om det gäller att förbinda fyra punkter, blir lösningen —
bortsett från de i fig. 3 angivna specialfallen — normalt
ett dubbel-Y, se fig. 4. Analogin med snören i jämvikt
kvarstår (även om det kanske icke är så lätt att
experimentellt åstadkomma, att mittsnöret påverkas av en kraft
proportionell mot årskostnadsnuvärdet för den ledningen).
Den geometriska konstruktionen i fig. 2 kan tillämpas
dubbelt, såsom skett i fig. 4 (både BC och AD
representera O-iP^:s kostnad per kilometer). Två alternativ att
kombinera orterna till par finns. Om det icke omedelbart
framgår vilket som är det riktiga (orterna med minsta av-
Fig. 5.
Fig. 4.
Fig. 2.
Fig. 3.
Fig. 1. Trepunktsproblemet; härledning av optimivillkoret.
Fig. 2. Den allmänna trepunktslösningen jämte konstruktion.
Fig. 3. Speciella konfigurationer vid fijrpunktsproblemct.
Fig. 4. Den normala fyr punktslösningen jämte konstruktion.
Fig. 5. Lösning med dubbel-Y för fyra extremt placerade punkter.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
