Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 46. 16 november 1946 - Insänt: Lösning av värmeledningsproblem med Abels integralekvation, av Ivar Herlitz, Jarl Salin, G Ödberg och Hans L Knudsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
23 november 19 AG
1171
och C<=H\Jn. Den för detta speciella uppvärmningsfall
gällande ekv. (15) i artikeln kan sålunda enkelt härledas
även utan kännedom om lösningen av Abels
integralekvation. Den för det allmännare fallet gällande ekv. (8) i
förening med (3) kan härefter också lätt härledas med
ledning av resultatet (15) då man tänker sig
temperaturfunktionen h’ (t) uppdelad i en summa av funktioner av
typen (13) med språng från 0 till h’ (t) dt vid tidpunkterna
t och integrerar.
Då det är ganska vanligt att möjligheterna att genom
dimensionsanalyser förenkla problemutredningar lämnas
obeaktade, kan dessa påpekanden kanske vara av intresse.
Som en komplettering av artikelns litteraturförteckning
kan antecknas att J E Fjeldstad i Norsk Matern. T. 22
(1940) s. 41 behandlat Abels integralekvations samband
med här ifrågavarande värmeledningsproblem.
Jarl Salin
I sin uppsats nämner Knudsen, att Heaviside’s
operatorkalkyl i många fall möjliggör en enkel behandling av
värmeledningsproblem. Det kan då kanske vara värt att
påpeka, att även integralekvationen (5) låter behandla sig
med samma hjälpmedel.
Först erinras om definitionen av "bruten integration"
t
p~mf(t)=n(m-1)/ u)m_1 f{u)du
o
där m är ett reellt tal > 0*. Knudsens ekvation (5)
t
1 Ja ( W(s) ,
^ (0 = iTT V/" ds
2 A V TT J \Jf — s
o
kan alltså skrivas (m i=1/,)
varav
\J a Va
Enligt ovan erhålles lösningen
^ ^ \j7ia dt j \Jt—u d
o
vilken (bortsett från beteckningarna) överensstämmer med
ekv. (8).
Givetvis kan metoden tillämpas på den allmännare
ekvationen (7). G ödberg
Tekn. dr Herlitz’ inlägg med beräkning av
temperatur-förhållandena i kablar vid kortslutning med användning
av Heaviside’s operatorkalkyl, utgående från det
förenklande antagandet, som gjorts i min uppsats, att ledarens
temperatur stiger linjärt under kortslutningstiden, har jag
läst med intresse.
Vid konstant kortslutningsström uppträder en linjärt
stigande ledartemperatur, om resistiviteten av ledarmaterialet
är temperaturoberoende, och om inget värme avges från
ledaren till isoleringen, vilket med approximation är fallet,
om ledarens värmekapacitet är mycket stor. Den avvikelse
från de verkliga förhållandena, som införes i
beräkningarna genom försummande av resistivitetens
temperatur-beroende, torde i de flesta fall vara utan större betydelse,
bl.a. med tanke på de även i Herlitz’ uppsats av 1928
gjorda idealiserande förutsättningarna beträffande
ledarens ytbeskaffenhet och krökning samt isoleringens
homogenitet.
* Se t.ex. Dahr, K: Integrational and operational calculus,
Stockholm 1935, kap. 9.
Beräkningar av temperaturförhållandena i kablar vid
kortslutningar finna praktisk tillämpning dels vid
undersökningar rörande tillåten kortslutningsström med
hänsyn till den termiska hållfastheten av de i en kabel
ingående materialen, dels som underlag för beräkning av
tryckstegringen i oljekablar vid kortslutningar. Då de
strömtätheter av 1 sekunds varaktighet, vilka med
hänsyn till tryckstegringen kunna tillåtas i oljekablar, ofta
väsentligt understiga 100 A/mm2, och temperaturstegringen
hos ledaren sålunda endast kommer att uppgå till
måttliga värden, blir i sådana fall det fel som uppkommer
genom antagandet av temperaturoberoende resistivitet
särskilt litet.
Det antagande, att det från ledaren avgivna värmet kan
försummas vid beräkning av ledartemperaturen, medför
däremot i många fall, då ledararean är liten, en ganska
stor avvikelse från de verkliga förhållandena. Antagandet
om en linjärt stigande ledartemperatur var nödvändigt
vid lösning av problemet i fråga med Abels
integralekvation. Herlitz’ beräkningar av 1928 torde emellertid med
fördel kunna förenklas genom införande av antagandet
om en temperaturoberoende resistivitet, men under
bibehållande av de förutsättningarna, att
kortslutningsströmmen är konstant, och att ledarens värmekapacitet är
ändlig. Lösningen av problemet i denna form medelst
Heavi-side’s operatorkalkyl återfinns bland exemplen i
avsnittet "Användning av Heaviside’s operatorkalkyl för
lösning av värmeledningsproblem" i mitt kompendium:
"Kablars dimensionering med hänsyn till belastningen",
utgivet av Göteborgs Elverk 1946.
Herlitz’ framhävande av operatorkalkylens fördelar, bl.a.
beträffande de möjligheter, den erbjuder vid den slutliga
utformningen av lösningen på ett givet problem,
instämmer jag i till fullo. Som ett exempel på denna smidighet
hos operatorkalkylen kan anföras, att under det Herlitz
W" .
i sitt inlägg genom utveckling av operatorn för , i re-
W o
flekterade vågor har erhållit en serie, som är starkt
kon-vergent för små värden på t, såsom det var önskvärt i
föreliggande fall, kan genom utveckling av operatorn
i fråga enligt Heaviside’s utvecklingssats, vilket motsvarar
användningen av egenfunktioner, erhållas en serie med
god konvergens för stora värden på t.
Den av tekn. dr Salin omtalade metoden för lösning av
integralekvationer tycks kunna användas i samtliga
sådana fall, där dimensionanalysen ger som resultat, att
den sökta variabeln kan skrivas som en produkt av de
övriga i problemet uppträdande storheterna i olika
poten-ser och en konstant.
Jag tackar för hänvisningen till den av mig obeaktade
uppsatsen, vilken jag ännu ej tagit del av, då vederbörande
årgång av Norsk Matematisk Tidsskrift ej finns på K.
Tekniska Högskolans bibliotek.
Till litteraturförteckningen kan ytterligare fogas
Rydbeck, O "A Theoretical Survey of the Possibilities of
Deter-niining the Distribution of the Free Electrons in the
Upper Atmosphere". CTH Handl. 1942 nr 3. I denna
avhandling har Abels integralekvation använts för
beräkningen av sann höjd vid elektromagnetiska vågors reflexion
i jonosfären, då den virtuella höjden är given.
Avhandlingen innehåller vidare en med litteraturhänvisningar
försedd översikt över de användningar, man hittills gjort av
Abels integralekvation inom de olika områdena av den
teoretiska fysiken, värmeledningsteorin dock undantagen.
Lektor ödbergs lösning av föreliggande integralekvation
utgör ett ytterligare belägg för den lätthet och elegans,
varmed problem rörande system med konstanta
parametrar kunna lösas med Heaviside’s operatorkalkyl. Det
kan tilläggas, att Heaviside’s operatorkalkyl kan användas
vid lösningen av samtliga sådana integralekvationer, i vilka
integralen så som i föreliggande fall är en
"Faltungspro-dukt" av två funktioner (se härom t.ex. Wagner, K W:
Operatorenrechnung, Leipzig 1940). Hans L Knudsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
