Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 46. 16 november 1946 - Insänt: Lösning av värmeledningsproblem med Abels integralekvation, av Ivar Herlitz, Jarl Salin, G Ödberg och Hans L Knudsen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
i08i)
TEKNISK TIDSKRIFT
för tillförd effekt per volymsenhet
p=4+v1)
för tillförd energi
«r_±p_ea(i + Ii/?)
P \P P v pl
där c är ledarmaterialets specifika värme och 8 är en
konstant, som bland annat är proportionell mot produkten av
isoleringens specifika värme c’ och
värmeledningsförmåga A.
Operatoruttrycket för W utvecklas till
W = c a t (1 + —S/öf |
\ 3 \!n ]
vilken formel ger uttryck åt en bl.a. av Spanne använd
överslagsregel, att isoleringen bidrar till värmekapaciteten
med ett mot kvadratroten ur tiden proportionellt belopp.
Vidare erhålles lätt ur grundformlerna följande
operatoruttryck för temperaturstegringen på avståndet x utanför
ledarnas yta
P
samt för energiinnehållet i den utanför x liggande
isoleringen
Särskilt den senare storheten är av intresse, då den
möjliggör en enkel bedömning av huru långt ut energin tränger
och därmed huru tjock isoleringen behöver vara för att
praktiskt kunna betraktas som oändlig. Det ingående
operatoruttrycket kan lätt hänföras till redan kända
uttryck, och lösningen erhålles i form av kända och
tabellerade funktioner. Med
- v/– - 6
2 \Åt~S
och
c a t —— \Tt = W’o
3 \ Jt
där alltså W’o är isoleringens totala energiinnehåll enligt
ovan angivna uttryck för VV, erhålles
iyr = (1 + P)e-(| + |») [1 - <P (£)]
där (£) är den kända Gauss felintegral. Beräkningar visar
att detta uttryck nedgått till ca 4 % för £ == 1 och ca
0,3 % för £,= 1,6.
Man kan till och med ur det mer generella
operatoruttryck, som gäller för ändlig isolationstjocklek x, genom
en enkel serieutveckling härleda följande uttryck för
isoleringens totala energiinnehåll W", om / (£) får beteckna
högra membrum i ovanstående uttryck för W’
^- = l_2/(2£)+2/(4£)-2/(6£) + ...
W o
Enligt denna serie, som för £ > 0,5 är ytterst starkt
kon-vergent, upptar en isolation med tjocklek motsvarande
£ 1= 0,5 92 % och med £ e= 0,8 99,4 % av den energi en
oändligt tjock isolering skulle uppta.
För mindre £-värden ger expansionsteoremet en serie,
som konvergerar så starkt att endast en exponentialterm
behöver tas med. Förhållandet f mellan det av isoleringen
verkligen upptagna värmet och det värme som den skulle
ha upptagit, om den helt och hållet hade antagit ledarens
temperatur, uttryckes i detta fall genom formeln
4 / 96 712 \
Det kan förtjäna omnämnas, att de i min tidigare
uppsats framlagda formlerna för oändlig isolertjocklek vid
försummande av resistivitetens temperaturkoefficient leder
till en formel, som motsvarar ett "effektivt specifikt
värme"
bt
Ceff = c —-—–-
\Jöt-l+ est[l-<P(\/öt)]
V jr
För små värden på 8 t ger detta i likhet med föregående
ceff = cl 1 + —i=| s/dt = c (l + 0,76\Jöt)
\ 3 \7t)
För stora värden på 8 t återigen erhålles
Ceff « c | J + ~ Vöf) = C (0,78 + 0,89^67)
Det må slutligen tillåtas mig såsom en gammal vän av
operatorkatkylen och elev till dess främste förespråkare
i Sverige, professor Pleijel, att — utan kritik mot
Knud-sens framställning — begagna tillfället att yttra några ord
om denna.
Det påstås ofta, dels att Heaviside’s framställning var
inexakt, dels att hans operatorkalkyl icke innebär något
nytt utöver andra kända metoder.
Härtill må för det första erinras dels att Heaviside’s av
Pleijel fullföljda elementära bevismetoder, bl.a. med
po-tensserieutveckling, är tillräckliga för en så stor del av
operatorkalkylen att de fall där den måste kompletteras
med exaktare metoder för bevis av seriernas konvergens
eller med efterkontroll av lösningens riktighet icke
berättigar till ett förklenande av de elementära metoderna,
dels att hans sätt att genom definition av den inverterade
operatorn såsom en bestämd integral ta med
begynnelsevillkoren troligen innebar ett väsentligt framsteg över
tidigare operatormetoder redan för lösandet av vanliga
differentialekvationer och system av simultana sådana.
Även om dess rent teoretiska nyhetsvärde skulle
underkännas, är det dock ostridigt att den möjliggör en
systematisering av arbetet, en lätthet att tillämpa elementära
metoder för svåra problem och en frihet in i det sista att
välja olika vägar för lösningens slutliga utformning, som
under alla omständigheter är oskattbar för teknikern och
även borde kunna vinna matematikerns respekt, på
samma sätt som han uppskattat framställandet av nya
serieutvecklingar med bättre konvergens för redan kända
funktioner, elegantare bevis för redan kända satser etc.
Ivar Herlitz
Det torde förtjäna att påpekas att de upplysningar, som
lösningen av en Abels integralekvation ger i Knudsens
exempel, i allt väsentligt erhålles genom att utföra enkla
dimensionsanalyser och fås alltså även utan kännedom om
funna lösningar av högst speciella integralekvationer.
I det första exemplet måste man tydligen få
värmekäll-funktionen w (t) i= w (t, k, X, a), då ej endast tiden t
utan även alla i funktionen ingående dimensionella
parametrar antecknas som variabler. En dimensionsanalys*
visar att denna ekvation för w för att bli dimensionsriktig
måste kunna skrivas i formen
wz= C k l \!tfa
där C är en dimensionslös konstant, vars värde
erhålles genom en insättning av motsvarande uttryck
w (s) i ingenjör Knudsens ekv. (5) — efter uteslutning
av-faktorn Va — och en beräkning av den uppkommande
integralen.
I det andra exemplet får man på motsvarande enkla sätt
X T
w = w(t, T, X, a) i=C ——=
\at
* Kuusinen—Salin, J: Om tekniska beräkningars rationalisering samt
om dimensionsanalyser för modellförsök, Sv. Tekn. Vetensk.-Akad.
Finl. Medd. 1936 nr 10, s. 32.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
