Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 41. 8 november 1947 - Approximativ integration, av Emil Palmblad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
(>846
TEKNISK TIDSKRIFT
trapetsfcrmeln härleddes först av Poisson och
lyder alltså
r l(yo
Ti 2
T" yn-1
tg OCn)
Härvid kan tg oc ersättas med derivatan
ax
Cötes’ formler
Om en högre grads parabel lägges genom n + 1
godtyckliga punkter blir den av n:e graden och
får formen
y — a0 + cix x + a2 x2 +- .. . an xn
Ytinnehållet mellan denna kurva, grundlinjen
och de båda ändordinatorna kan lätt erhållas
genom integration och uttryckas som funktion av
ordinatorna genom de givna punkterna, alltså
J — Ao yo + Ax i/i + ... + An yn
varvid koefficienterna A kunna matematiskt
bestämmas. Om grundlinjen är indelad i lika delar
bli A-värdena konstanta och dessutom
symmetriska, dvs. A, = An-i- Den franske
matematikern Cötes beräknade dessa koefficienter för olika
n (dvs. antal delsträckor av I) och erhöll
följande tabell
Integral
(j/o+i/i)
(y0+3 yi+3 y2+ys)
(7y0+32 J/i+12 1/2+32 ys-|-7 y4)
(19 y0+75 y,+ 50 y2+50 y3+75 y*+19 y5)
(41 y0+216 yx+27 y2+272 y3+27 y4+216 y5+
n
« 1
* i
4 fo
5 -L
288
6 /
840
+41 y6)
7 1Y28Ö (751 y°+3 577 yi+1 323 y2+2 989 y3+
+ 2 989 y4+ ...)
8 28^50 <989 yo+5 888 y—928 y2+10 496 y3—4 540 y,+
+ 10 496 y5—+ ...)
9 89"éÖÖ (2 857 y°+15 741 2/1+1 080 y2+19 344 y3+
+5 778 y4+5 778 y5+ ...)
10 5^52(16067 y»+106300y-48525 y*+272 400 y —
—260 550 y4+427 368y5— ... + ...)
Vid närmare undersökning finner man, att
formeln för n även gäller för n +- 1 (och naturligtvis
för alla tal < n) om n är ett jämnt tal, däremot
icke, om n är udda. Formlerna för udda n kunde
man alltså undvara. De ha emellertid medtagits
för fullständighetens skull och emedan de i spe-
ciella fall äro att föredra, t.ex. då en indelning
av grundlinjen redan föreligger. Till och med
n = 9 ha de dessutom den fördelen, att alla
koefficienter äro positiva.
Formeln för n= 1 sammanfaller med
trapets-formeln. Formeln för n = 2 utvidgas i praktiken
på så sätt att grundlinjen delas i ett jämnt antal
lika delar, varefter formeln tillämpas på dessa
parvis. Man får då
J = (yo + 4 yx + 2 y2 + 4 yz + ... 2 yn-2 +
o n
+ 4 yn-i + yn)
I denna gestalt heter formeln "Simpsons regel"
och har funnit vidsträckt användning, särskilt
inom skeppsbyggeriet. Den lämnar också
relativt noggranna värden.
Tschebyscheffs formler
Här undvikas alla koefficienter till
ordinatorna. Formlerna ha alltså den till det yttre mycket
enkla formen
Man behöver alltså endast addera
ordinatorna och multiplicera summan med lin (n <= antalet
ordinator). Men grundlinjen får då icke delas i
lika delar, utan delningspunkterna ligga på
avståndet xjl från nollpunkten enligt följande tabell
n x:l n x:l n x : l
1 0,5000000 0,6872707 0,7648284
2 0,2113249 0,9162487 0,9419308
0,7886751 6 0,0668766 9 0,0442053
3 0,1464466 0,2887406 0,1994906
0,5000000 0,3666824 0,2356191
0,8535534 0,6333176 0,4160469
4 0,1026728 0,7112594 0,5000000
0,4062038 0,9331234 0,5839531
0,5937962 7 0,0580692 0,7643809
0,8973272 0,2351716 0,8005094
5 0,0837513 0,3380441 0,9557947
0,3127293 0,5000000
0,5000000 0,6619559
Den matematiska deduktionen av x\l är lätt.
För t.ex. n = 5 kan man använda formeln med
ordinator till kurvan y = x4, som omedelbart
kunna beräknas och ytan integreras. Man får med
1=1 (se fig. 4)
JZ
Fig. 3. Korrigering av
trapetsformeln enligt Poisson.
Fig. 4. Härledning av
Tschebyscheffs formler.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
