Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 41. 8 november 1947 - Approximativ integration, av Emil Palmblad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
22 november 1947
847
Ji = I [oc* + ßl + ( *)*+ (1 - ßf + (1 -
= x*dx =
x = 0
Men samma formel skall även gälla för en kurva
av andra graden, t.ex. y = x2, och ger då
2
i
= fx*dx =
f
x — O
Ur dessa båda ekvationer kan man bestämma
oc och ß.
oc= 1_1/1_ 1 /_ -j- i/| T) _ 0,0837513
ß 2 V 4 48 0,3127293
1 — ß = 0,6872707; 1 — a = 0,9162487
Egendomligt är, att Tschebyscheffs formel icke
kan användas för n = 8.
Gauss’ formler
Gauss’ formler fordra, liksom Tschebyscheffs,
att ordinatornas läge särskilt beräknas. Värdena
t — x : l äro rötterna till ekvationen
dn [Hl — t,n]
dtn
= 0
där n = antalet ordinator
och koefficienterna A beräknas med tillhjälp av
Lagranges polynom
i
f (x— xi)(x — x2)...{x-xi-l)(x — Xi-f l)...(x — X»)
J (Xi -Xl){Xi—X2)–-(Xi — Xi~l){Xi—Xi+l)...{Xi — Xn)
x = 0
Man får därmed följande tabell:
dx
n x : l A
1 0,5 1
2 0,2113249 0,5
0,7886751 0,5
3 0,1127017 5/18
0,5000000 4/9
0,8872983 5/18
4 0,0694318 0,1739273
0,3300095 0,3260726
0,6699905 0,3260726
0,9305682 0,1739273
5 0,0469101 0,1184635
0,2307653 0,2393142
0,5000000 0,2844446
0,7692347 0,2393142
0,9530899 0,1184635
6 0,0337652 0,0856622
0,1693953 0,1803809
0,3806904 0,2339569
0,6193096 0.2339569
0,8306047 0,1803809
0,9662348 0,0856622
7 0,0254460 0,0647427
0,1292344 0,1398512
0,2970742 0,1909128
0,5000000 0,2089866
0,7029258 0,1909128
0,8707656 0,1398512
0,9745540 0,0647427
Exempel:
För att praktiskt visa de olika formlernas
brukbarhet och den med dem uppnådda
noggrannheten skola de här användas på några
räkneexempel. Vi välja transcendenta kurvor, som lätt
kunna integreras matematiskt exakt. Då deras
grad i x är oändligt hög blir ingen av de använda
Fig. 5. Integration av
sinuskurva vid fyrdelning av
grundlinjen.
Fig. 6. Integration av
sinuskurva enligt Tschebyscheff.
formlerna särskilt gynnad på bekostnad av de
övriga.
Ex. 1. Sinuskurva, y = sin x
-T
"o"
xakt: .4 = J^si
Arean är ex;
sin xdx
eos
- (— eos 0) = + 1.
Trapetsformeln ger för n = 4
= o (0,3826834 + 0,707 1068 -f
8
+ 0,9238795 + 0,5) =0,9871158
Diff. = 0,0128842
Poissons formel (fig. 5)
(tg «o= 1; tg oc4 <= 0)
a2 = Ax +
1
12 V8
[l—0) =0,9871158 +
+ 0,0128510 = 0.9999668
Diff. = 0,0000332
Simpsons regel
71
A= (4 -0.3826834
£ T
2-0,7071068 +
+ 4 • 0,9238795 + 1,0) = 1,0001346
Diff. "= 0,0001346
Cötes formel
A — (32 • 0,3826834 + 12 • 0,707 1068 +
180
+ 32 ’ 0,9238795 + 7 • 1,0) = 0,9999915
Diff. = 0,0000085
Tschebyscheffs formel
A = nQ (0,1605788 + 0.5956410 + 0,8032509 +
8
+ 0,9870227) =0,9999738
Diff. = 0.0000262
Gauss’ formel (fig. 6)
A = ^ (0,1088471 • 0,1739273 + 0,4954716 ■
• 0,3260726 + 0,8686242 • 0,3260726 +
+ 0.9940584 • 0,1739273) =0,9999998
Diff. = 0.0000002
Ex. 2. Kurva y — 0.3 e0,3* • sin x (fiy. 7)
Denna kurva liar en viss likhet med ett fartygs
vattenlinjer. Den exakt beräknade arean från
.X — 0 till X- Jlär -°A(c0.94247778 + j) = 0,9815594.
Vi dela grundlinjen denna gången i sex delar för
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
