Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 27. 6 augusti 1949 - Spelteorin — en ny matematisk grund för nationalekonomi och militär strategi? av Karl-Olof Faxén
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
13 augusti 1949
497
lägre matematisk förväntan för A:s vinst. På
samma sätt måste ett försök av B att avvika från
de för honom angivna sannolikheterna leda till
en större matematisk förväntan för B:s förlust.
Denna slutsats kan man dra av en matematisk
sats, som Neumann visade år 1928. Den
matematiska förväntan för A:s vinst (eller B:s
förlust) i ett strategiskt spel av nu diskuterade typ
uttryckes med en bilinjär form
i=r j — s
^ Clij Ui Vj (5)
i= 1 ; = 1
där a,j betecknar A :s vinst om A använder
strategi nummer A-i och B använder strategi
nummer B-j; ii; är den sannolikhet, varmed strategi
nummer A-i ingår i A:s blandade strategi, och Vj
är den analoga sannolikheten i B\s blandade
strategi. A har r och B har s strategier att
välja på.
Neumann’s sats innebär, att den bilinjära
formen (5) alltid har ett sadelvärde, och
existensen av ett sadelvärde är just vad som krävs för att
det skall finnas en entydig lösning’. Om man
betraktar tabell 1 som en tabell över en funktion
av två variabler A och B, där var och en av
variablerna endast kan anta värdena 1, 2 och 3,
finner man att funktionsvärdet 2 för
variabelvärdena A —2 och B= 1 just är ett sadelvärde.
Den funktion, som tabell 2 på liknande sätt
illustrerar, har däremot intet sadelvärde.
Blandade strategier kan sedan användas för att
visa, varför sådana spel som poker kräver ett
oregelbundet och skenbart irrationellt beteende,
eller att den bästa politiken för ett företag i
konkurrensen med ett annat ibland kan vara
att i viss mån låta slumpen styra företagets
uppträdande.
Alla tvåpersons-nollsunimespel har således en
entydig lösning, bestående antingen av rena eller
blandade strategier.
Trepersons-nollsummespel
Sedan den enklaste men grundläggande
varianten av strategiska spel,
tvåpersons-nollsumme-spelet, klarats ut, kan spel med tre deltagare be-
* Vad som menas med ett sadelvärde kanske bäst förklaras med en
liknelse med den övre begränsningsytan till en hästsadel. Om man
skär en sadelyta med plan, vinkelräta mot hästens längdriktning,
erhåller man en rad upp- och nedvända (/-kurvor. Maximipunkten
i den lägsta av dessa [/-kurvor utgör sadelpunkten. Sadelpunkten
utgör samtidigt minimipunkt i den högsta av de rättvänt formade
(7-kurvor, som erhålles om sadeln skäres med vertikalplan, parallella
med hästens längdriktning. Om man vidare tänker sig sadelytan som
en grafisk framställning av en funktion av två variabler, x och y,
där funktionsvärdet mätes längs en vertikal axel och variabelvärdena
längs två axlar, x-axeln parallell med och y-axeln vinkelrät mot
hästens längdriktning, så har funktionen ett sadelvärde i ytans
sadelpunkt. Denna funktion har den egenskapen, att man erhåller
samma värde, sadelvärdet, om funktionen först minimeras med
avseende på variabeln x och sedan maximeras med avseende på y,
eller om den först maximeras med avseende på y och sedan
minimeras med avseende på x. Det är tydligt, att det endast är en mycket
speciel] klass av funktioner, som liar sadelvärden.
handlas. Ett enkelt trepersons-nollsummespel
illustreras i tabell 3. Det avgörande i detta spel
är vilka koalitioner, som bildas. Blir det
koalitionen A, B, som kommer till stånd, så är det
ursprungliga trepersons-spelet reducerat till ett
tvåpersons-spel mellan koalitionen A, B och den
tredje spelaren C. Detta spel har enligt teorin
för tvåpersons-spel en entydig lösning:
koalitionen vinner en enhet och den ensamme spelaren C
förlorar en enhet. Detsamma gäller för de övriga
möjliga koalitionerna A, C och B, C jämte de
motsvarande ensamma spelarna B resp. A.
Tabell 3. Trepersons-nollsummespel
Bildad
koalition Spelresultat för enskilda spelare
A B C
A, B ll* V. — 1
A, C V, — 1 V»
B, C — 1 v.
Spelreglerna anger inte bara, hur mycket varje
koalition som helhet vinner, utan även hur
denna vinst skall fördelas mellan spelarna. A
och B i den första koalitionen behöver t.ex. inte
få lika stor utdelning av själva spelet. A kanske
får y4 och B l/4. Men om A försöker behålla hela
sin vinst 3/4, kan C genom att erbjuda B en så stor
extra kompensation efter spelets slut, att B får
sammanlagt t.ex. 1/„ splittra koalitionen A, B
och omöjliggöra för A att få sin vinst. Genom
att utveckla detta resonemang visar spelteorin,
att fördelningen Va för A och % för B är den
enda möjliga, om koalitionen A, B *skall ha
någon möjlighet att stå sig i konkurrensen med
de övriga koalitionerna. Men ingen av
koalitionerna kan tränga ut någon av de andra. Det
utmärkande för trepersonsspelet är just, att man
inte teoretiskt kan avgöra, vilken av de tre
möjliga koalitionerna, som faktiskt bildas. Man kan
endast säga, hurdant resultatet måste bli i var
och en av de tre möjligheterna.
De tre koalitionerna med sina tre olika resultat
för spelarna A, B och C måste alltså tillsammans
betraktas som lösningen av spelet.
Spel med ett godtyckligt antal deltagare
Neumann—Morgenstern lyckas inte ge någon
uttömmande behandling av spel med flera än
tre deltagare. De resultat, som författarna nå
för dessa spel, skall icke anföras här, utan
framställningen inskränkes till att diskutera, vad
som menas med en lösning till ett spel med ett
godtyckligt antal, t.ex. n deltagare.
Beteckna först en viss fördelning av betalningar
till de olika spelarna med en "resultatvektor"
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
