Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 11. 18 mars 1950 - Cirkelsågars buckling vid symmetrisk temperaturfördelning, av Einar Lindholm
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
11 mars 1950
245
|H«0
m= t
Fig. 3. Den i periferin bucklade klingans utseende i fyra
olika fall. + vågberg, — vågdal. Antalet vågberg anges av
parametern m, vilken definieras genom (ii). Den centrala
delen av klingan är i huvudsak plan.
ning av den kritiska periferitemperatur, ovanför
vilken klingan förlorar sin styvhet.
Temperaturbuckling i centrum
Om en klinga sträckes för hårt i centrum,
finnes risk att klingan blir skålformig. Den kritiska
temperaturen # är därvid beroende på det
använda p-värdet. Man inser omedelbart, att om
q är mycket litet, erfordras en hög temperatur
innan buckling uppträder, och om q ^ R
erfordras ävenledes en hög temperatur. För Qæ — R
uppträder däremot buckling redan för ett
relativt lågt #-värde.
Vid denna buckling sätta vi alltså m = 0. Fallet
m = 1 kan omedelbart uteslutas av samma skäl
som tidigare, och fallen m 2 ha utan bevis
uteslutits, enär deras kritiska temperaturer
synas ligga högre än för m = 0.
I)et allmänna problemet
beträffande sträckning av sågklingor
Vi äro nu i stånd att uppställa det allmänna
problemet beträffande sträckning av sågklingor.
Vi anta, att sågklingan och (>-värdet äro givna.
Vi låta klingan erhålla den homogena
sträckningen & för r < o, där # är just det kritiska
värde, för vilket bucklingen i centrum uppträder.
Vid sågningen upphettas periferin, varvid
temperaturfördelningen blir summan av (2) och (3).
Vid en viss kritisk periferitemperatur t bucklas
periferin, och klingan förlorar sin styvhet. Vi
beräknar t som funktion av q och kan därur dra
slutsatser om hur sträckningen bör utföras.
Detta allmänna problem är av en avsevärd
svårighetsgrad och bör behandlas med
approximativa metoder. För att kunna bedöma de
resultat, som erhållas med dessa metoder, är det
av vikt att ha tillgång till exakta lösningar för
några enkla fall. Som sådana lämpa sig de
temperaturfördelningar, som angivits i (2) resp. (3).
Detta arbete avser att ge de exakta lösningarna
för dessa båda fall; behandlingen av det
allmänna problemet uppskjutes till ett senare
arbete.
Differentialekvationen tor bucklingen
Differentialekvationen för plattan erhålles
enklast genom transformation till polära
koordinater av de ekvationer, som angivits för
rätvinkliga koordinater (se t.ex. Odqvist4 eller
Timo-shenko5. Härigenom erhålles
r^ ia , i 32 ] \d2w id_tv
1.3 r2 r 3r r23ö2J L 3r2 r 3r r2902J
Här äro r och O de polära koordinaterna, w är
plattans utböjning vinkelrätt mot rØ-planet, och
I) är böj styvheten, vilken definieras
där v är Poissons tal.
För att lösa denna differentialekvation sätta vi
00
w = I Wmcos m S (14)
m —o
varigenom ekvationen blir
L 3 r2 r 3 r r2 J L dr2 r dr r2 J
\ fd2wm d\Vm [Nr dNA 2„_ Ne
Beräkning au bucklingen i periferin
För att beräkna bucklingen, när
temperaturfördelningen är given av (2), insätta vi
snittkrafterna (6) och (7) i differentialekvationen (15)
och göra vidare ansatsen
Wm= l anrr
n = o
Vi få då en rekursionsformel
(16)
[n2 — m2] [(n — 2)2 — m2] • an =
(xE ht
14 D
[(n — 2)2 — m2J-«„-2 +
cc Eli 11’
14 D
[ 13 m2-(n -14)2 -12 (n -14)] • ön u (17)
Ur denna rekursionsformel erhållas i allmänhet
tvenne serier. (Undantaget utgör m = 0, då
endast en serie erhålles; enligt diskussionen ovan
saknar detta fall intresse.) Allmänna lösningen
blir därför för m — 2
w, = U, -f USW^ (18)
där U1 och IL äro arbiträra konstanter och
W,, = r + aw • r10 + «]8 • r18 + . . . (19)
W* = r4 + K • r" + bs • rs + . . . + bl8 • ris +
b.x • r° ... (20)
där a och b äro de konstanter, som beräknas ur
rekursionsformeln. Serierna (19) och (20) gälla
för m = 2; allmänt gäller att Wml börjar med
rm och \Vm., med r"’ + 2.
Lösningen (18) måste satisfiera följande
randvillkor: För r — R är randen fri, vilket innebär
momentet (Mr)r = R — 0 och ekvivalenta
randkraften V = 0 (se Odqvist4 eller Timoshenko5).
Om lösningen wy= W» eos 2 @ insättes i dessa
randvillkor fås
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
