Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 21. 27 maj 1950 - Topologi, av sah
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
20 maj 1950
509
Topologi
513.83
Topologin är den gren av matematiken (geometrin), som
behandlar sådana lägesegenskaper hos plana figurer och
kroppar, vilka är oberoende av form- eller
storleksförändringar, med andra ord sådana geometriska egenskaper,
vilka förblir oförändrade hur man än vrider, vänder eller
tänjer föremålen. Den topologiska matematikens uppgift
är icke att finna lösningar på vissa problem, utan att
utröna huruvida vissa lösningar existerar eller icke, eller om
vissa förhållanden är möjliga eller icke.
De topologiska föremålen
Ett av de föremål, som topologerna mest har sysslat med,
är Moebius’ band, uppkallad efter en tysk matematiker.
Denne fann 1858, att om man tog ett långt pappersband,
vred det ett halvt varv och klistrade ihop ändarna, fig. 1 a,
fick man en ring, som endast hade en sida. Om man
klipper denna ring i två delar på längden får man
fortfarande en enda ring. Klipper man itu denna senare
ytterligare en gång, får man två sammanhängande ringar.
Ett annat föremål, som erbjuder topologiskt intresse, är
Kleins flaska, uppfunnen även den av en tysk matematiker
1882. Den är i stort sett en retort, vars hals stickes genom
den ena sidan och bottnen, där den vidgar sig och
övergår i flaskans sidor, fig. 1 b. Skär man Kleins flaska mitt
itu, visar det sig att den består av två hopsvetsade
Moebius’ band.
Ett tredje topologiskt intressant föremål är den ihåliga
ringen, t.ex. innerslangen i en bilring, och ett typiskt
topologiskt problem är, huruvida det är möjligt att vända en
sådan slang ut och in. Av fig. 2 framgår, att detta
verkligen är möjligt, under den teoretiskt fullt acceptabla
förutsättningen, att gummimaterialet kan sträckas
godtyckligt mycket. Efter den i figuren visade proceduren har
slangen behållit sin form, trots att den har vrängts ut
och in; den enda skillnaden är att fiberriktningen, om
den tidigare har gått i slangens längdriktning, nu går i
dess tvärriktning.
Antalet kanter och antalet sidor är två av de
oföränderliga geometriska, dvs. topologiska, karakteristikerna för en
yta. Moebius’ band och Kleins flaska är exempel på
en-kelsidiga ytor, medan slangen och skivan har två ytor.
En tredje karakteristik, som användes inom topologin, är
Betti-talet. Det är det största antalet klipp som kan göras
från kant till kant i en yta, utan att denna delas i flera
stycken. Eftersom ett sådant klipp i en skiva delar denna
Referat av uppsats av A W Tucker & II S Bailey, Jr i Sci. Amer.
jan. 1950.
Fig. 1■ Moebius’ band och Kleins flaska — två föremål
med en sida och en kant.
Fig. 2. Hur en ihålig ring kan vändas ut och in.
i två delar är Betti-talet för detta föremål 0. Ett Moebius’
band däremot kan klippas tvärs över och fortfarande
förbli i ett stycke, och därför blir dess Betti-tal 1. För en
Kleins flaska eller för en ihålig ring är Betti-talet 2
(ringen t.ex. kan först klippas av tvärs över och därefter
klippas upp på längden utan att det blir mer än ett stycke).
Man kan även få Betti-talet genom att bestämma antalet
klipp i sluten slinga, som kan göras inom figuren utan
att beröra kanterna. Det antal sådana klipp, som är
möjliga utan att figuren delas i flera stycken, ger Betti-talet.
Det visar sig härvid vara en regel, att varje slutet klipp
alltid korsar ett, men endast ett genomgående klipp.
Denna sats, som kallas dualitetsteoremet, är en av
grundpelarna i den moderna topologin.
Begreppet Betti-tal introducerades ursprungligen av
Kirch-hoff, som använde det 1847 för att karakterisera det antal
oberoende ekvationer, som erfordras för att bestämma
strömfördelningen i ett nätverk. Sedermera togs begreppet
om hand av Maxwell, som kallade det "cyklomatiskt tal".
Det var den franske matematikern Poincaré som år 1895
introducerade talet i topologin och därvid döpte det efter
den italienske matematikern Enrico Betti, som 1871 hade
generaliserat Riemanns förbindningsnummer.
Fig. 3. Omformning av trevridet Moebius’ band till knut.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
