Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 21. 27 maj 1950 - Topologi, av sah
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
.510
TEKNISK TIDSKRIFT
Fig. 4. Broarna i Königsberg; först sedan den åttonde bron
(upptill) blev byggd är det möjligt att gå över alla broarna
utan att passera över någon av dem mer än en gång
(antalet "udda" punkter är 2).
De topologiska karakteristikerna för tvådimensionella
ytor är alltså antalet kanter, antalet sidor och Betti-talet.
Dessa förblir alltid oförändrade, oberoende av hur ytan
sträckes eller deformeras i den tredimensionella rymden.
Svårare är det att definiera ett annat topologiskt föremål,
nämligen knuten. Om man nämligen framställer Moebius’
band med tre vridningar i stället för en, får bandet
fortfarande en kant och en sida samt Betti-talet 1. Dock har
en skillnad uppstått i bandets läge relativt den
tredimensionella rymden: dess kanter bildar en knut, fig.
3, som kan vara höger- eller vänstervriden beroende på
åt vilket håll vridningen har skett. Dessa alternativ är
topologiskt skilda, eftersom det ena icke kan fås att
övergå i det andra enbart genom sträckningar eller
deformationer. Det skulle alltså krävas ytterligare en
karakteristik för att definiera knuten, men ännu har man icke funnit
någon generell princip för knutars klassificering. (Vanliga
knutar, t.ex. sjömansknopar, är icke av intresse inom
to-pologin, då de alla kan överföras till en rät linje).
Nätverk
Ett av de äldsta problemen inom topologin är de sju
broarna i Königsberg, fig. 4: det gäller att finna ett sätt
att passera dem alla sju utan att gå över samma bro två
gånger. År 1736 bevisade Euler att detta var omöjligt,
genom sin allmänna topologiska teori för nätverk. Om de
stadsdelar som broarna förbinder representeras av
punkter, och broarna av linjer som förbinder dessa punkter,
samt en punkt definieras som udda eller jämn, beroende
på om ett udda eller jämnt antal linjer leder till den, får
man som generell princip, att det antal resor som är
nödvändiga för att man skall passera ett slutet nätverk är lika
med halva antalet udda punkter. (Hela antalet udda
punkter är alltid ett jämnt tal, eftersom varje linje alltid måste
börja vid en punkt och sluta vid en annan.) Om antalet
udda punkter icke är större än 2 kan nätverket passeras
i en resa. (Detta är nu fallet i Königsberg, sedan en
åttonde bro har byggts).
Ett särskilt slag av nätverk är de, som inte innehåller
några slutna slingor, och som på grund av sin form
kallas träd. Ett sådant nätverk kan alltid byggas upp från en
enda punkt genom att linjer och punkter växelvis lägges
till. Varje gång en ny linje lägges till trädet måste även
en punkt tillfogas, ty annars skulle linjen sluta i en gam-
mal punkt och därmed bilda en slinga. Antalet punkter
i ett träd är alltså alltid en enhet större än antalet linjer.
Ett slingnätverk kan alltid reduceras till ett träd genom
att man tar bort ett antal linjer utan att ta bort några
punkter. Oin ett nätverk har P punkter och L linjer, och B
linjer tas bort för att man skall få ett träd, erhålles P\=
,= 1 + (L — B), eller B=l + L — P. Nu råkar B vara
Betti-talet för nätverket, vilket givetvis icke är någon
tillfällighet.
För ett slutet nät, som ritas på ytan av en sfär, har Euler
uppställt en berömd formel: P — L + A = 2, där A är det
antal ytor, i vilken sfärens yta uppdelas av nätet. Nu kan
ett sfäriskt nätverk överföras till ett plant sådant genom
att man gör hål i den sfäriska ytan mitt i en av ytorna och
plattar ut sfären till en skiva. För detta plana nätverk
gäller P — L-f Ai==l, eftersom en yta har gått förlorad
genom håltagningen. Om detta omskrives till A e= 1 -f L—P,
kommer man tillbaka till Betti-talet, som här är ett
uttryck för det antal ytor, som är inneslutna i ett slutet
nätverk.
Med detta sammanhänger ett gammalt problem,
nämligen den om de tre gårdarna, som skall bygga var sin
väg till brunnen, höstacken och hönshuset, utan att vägarna
korsar varandra, fig. 5. Problemet är olösligt, och den
polske matematikern Kuratowski bevisade 1930, att sex
punkter icke kan hopkopplas på detta sätt (eller fem
punkter hopkopplas sinsemellan), medan detta är
möjligt för alla andra värden när det gäller plana nätverk.
På ett Moebius’ band däremot kan sex punkter
hopkopplas, och på en ring sju.
Ett annat känt topologiskt fenomen är den regel, som
säger, att man inte behöver mer än fyra färger för att
beteckna olika länder på en karta så att två färger aldrig
gränsar till varandra. Ännu har dock ingen lyckats
bevisa detta postulat, eller bevisa att det är omöjligt att
bevisa. Teoremet är dock giltigt endast för en plan yta
eller en sfär — på ett Moebius’ band kan man t.ex.
komma upp till sex färger.
Händelser och företeelser
En intressant variant av topologin är den, som rör
fördelningen av händelser eller företeelser. Följande fem
satser, vilka gäller en sfärisk yta, kan ge ett exempel
på detta:
i varje ögonblick måste det finnas minst en punkt på
jordens yta, där vindstilla råder;
om vinden i ett visst ögonblick blåser överallt på norra
halvklotet, måste alla vindriktningar vara
representerade längs ekvatorn;
under samma villkor måste det längs ekvatorn finnas
minst två diametralt motsatta ställen, där vinden blåser
i exakt motsatta kompassriktningar;
i varje ögonblick finns det minst två antipoder på
jorden, där temperatur och fuktighet har lika värden;
Fig. 5. Tre gårdar kan icke sammanbindas med tre andra
föremål utan att åtminstone en väg korsar de andra.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
