Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 7. 19 februari 1952 - Statistisk planering av utmattningsförsök, av Waloddi Weibull
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
12 februari 1952
157
Statistisk planering
av utmattningsförsök
Professor Waloddi Weibull, Bofors
519.2 : 620.178.3
Det är icke möjligt att experimentellt avgöra, om en
faktor, t.ex. provstavens storlek, påverkar
utmattningsgränsen utan att känna den noggrannhet med vilken
denna gräns blivit bestämd. Men inte nog härmed.
Noggrannheten måste också vara tillräckligt stor med hänsyn
till den observerade effekten för att ett avgörande över
huvud taget skall ha någon mening.
Dessa självklara synpunkter har inte alltid blivit
vederbörligen beaktade, beroende på frånvaron av lämpliga
metoder för uppskattning av denna noggrannhet. Under
sådana omständigheter måste det vara ytterst angeläget
att söka efter lämpliga formler härför, så mycket mera
som de även utgör en nödvändig förutsättning för en
rationell planering av försöken, i vissa fall medförande
avsevärda besparingar i körtid och kostnader. Exempel
härpå visas i det efterföljande.
S.amband mellan belastning och livslängd
Om man förutsätter existensen av ett exakt samband
mellan belastning och livslängd för ett givet material
under specificerade försöksbetingelser, och uppställer ett
analytiskt uttryck som något så när riktigt återger
detta samband, skall man finna att även en ganska grov
approximation kan påvisas endast efter ett avsevärt antal
prov. Detta beror på den alltid mycket stora spridningen
i livslängden. Förbättrar man successivt approximationen
genom att variera funktionen eller genom att införa nya
parametrar, kommer man mycket snart i det läget att det
erforderliga antalet prov blir så stort att det icke blir
möjligt att experimentellt vederlägga den uppställda
ekvationen.
Jag skulle vilja kalla ett sådant samband som icke kan
vederläggas för riktigt, ehuru möjligen inte exakt. Som
följd av denna obestämdhetsrelation kan det mycket väl
finnas två eller flera riktiga men sinsemellan olika
ekvationer. Ställd inför detta överflöd har man bara att välja
den ekvation som enklast för till åsyftat mål.
S-N-ekvationen
Under tidernas lopp har många sådana ekvationer
föreslagits men ännu ingen som bygger på övertygande
teoretiska grunder. Med utgångspunkt från ovannämnda
pragmatiska inställning föreslås nu att sambandet mellan
belastning S och livslängd N skrives
S — E = A (N + B)~m (1)
Denna ekvation, som innehåller utmattningsgränsen E
och ytterligare tre parametrar A, B och m, kan även
skrivas i formen
log A — m log (N + B) — log (5 — E) = 0 (2)
Med beteckningarna
A = logiV, Y = log (S — E), Z = log (N + B),
a = log A (3)
får man
F = a —mZ — Y = 0 (4)
Genom derivering av ekv. (1) får man 5—A-kurvans
lutning
xr
dS/dX = — 2,30258 „ , „ (S — E) (5)
eller
d X = — 0,43429
N + B
N + B S
mN ’ S —
dS
E ’ S
(6)
Parametrarna kan bestämmas antingen med grafiska eller
med analytiska metoder.
Grafisk bestämning av parametervärdena
Om ett utmattningsförsök med fyra belastningar S2,
S3, S4, ordnade efter fallande storlek, och där om möjligt
St är den statiska hållfastheten, gett livslängderna Nlt Ne,
2VS, så blir enligt ekv. (3)
Yi = log (Si — E), Zi= log (Ni + B) (i = 1,2,3,4) (7)
Parametrarna E och B skall nu bestämmas så att de fyra
punkterna (Fi, Zi) ligger på en rät linje i (Y, Z)
-koordinatsystemet.
Man väljer då på försök två värden Eo och Bo, beräknar
värdena (Yl0, Zi0) och prickar in dem på ett
millimeterpapper. Om man beaktar, att en förändring i B
endast påverkar Z-koordinaterna och härvid Zx väsentligt
mycket mera än Z4, och att en förändring i E endast
påverkar F-koordinaterna och härvid Yt mera än Yx, kan
man med någon vana variera värdena så att man tämligen
snabbt kommer i närheten av de riktiga. När detta är
gjort, bestämmes parametern m av lutningen hos linjen
genom de fyra punkterna och parametern a av ordinatan
i origo.
Noggrannheten blir inte alltid tillräckligt stor med
grafiska metoder. Det kan därför bli nödvändigt använda
analytiska metoder, och detta så mycket mera som man
behöver formler för derivatorna av parametrarna med
avseende på S och X för att kunna uppskatta osäkerheten i
beräknade parametervärden.
Beräkning av parametervärdena
vid fyra belastningsgrupper
Även vid den analytiska metoden utgår man från två på
försök valda eller med grafisk metod bestämda värden E0
och Bo. Deras okända avvikelser från de riktiga värdena
E och B betecknas med e och b och således är
E — Eo — e, B = Bo — b (8)
Om partiella derivator betecknas med index som t.ex.
dXfiN = XN, 3Z/3A = ZA etc. (9)
blir
XN= 0,43IN, Ys = — Ye= 0,43/(S — E),
ZN= ZB= 0,43/(N + B), Zx = N/[N + B) (10)
där 0,43 kan ersättas av det noggrannare värdet 0,43429.
Om e och b är små, blir approximativt
Yi = Yio - e YEi0, Zi = Zio - b ZBi0 (11)
Av ekv. (4) och (10) följer då
Fi = a — mZio + 0,43 (mb)l(Ni + Bo) ~
— 0,43 el (Si — Eo) — Yio = 0 (i = 1,2,3,4) (12)
Ur detta ekvationssystem kan de obekanta storheterna a,
m, {mb) och e beräknas.
Värdenu på b och e som erhålles är naturligtvis icke fullt
exakta, eftersom argumentet till de riktiga värdena Zß och
Yß ligger någonstädes mellan (Ni + Bo ) och (Ni + Bo — b)
resp. mellan (St—Eo) och (S;—Eo + e).
Skulle värdena b och e efter första försöket bli för stora,
kan proceduren upprepas genom insättning av nya,
korrigerade värden enligt ekv. (8) hur många gånger som helst,
tills önskad grad av noggrannhet erhållits.
Beräkning av parametervärdena
vid fler än fyra belastningsgrupper
För parameterbestämningen är det förmånligast att
begränsa antalet belastningar till fyra. Andra skäl kan
understundom göra det nödvändigt att välja ett större antal.
Man utgår även i så fall från ekv. (12), men det är då inte
möjligt satisfiera villkoret 2 (Fi)a = 0, som därför ersättes
med villkoret
2 (Fi)2 — minimum
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
