Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 23. 10 juni 1952 - Tippetoppens teori, av Alfred Liljeström
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
536
TEKNISK TIDSKRIFT
ligen kallad energikurvan, U = —
2 (u
ningen U’ =
q)[l-qu)
1 —u
,, 9.„ .De två första termerna re-
(1 — u)
presenteras av en rät linje med vinkelkoefficienten ju och
med ordinatan A för u = u0. Denna räta linje skär som
regel energikurvan i tre punkter och kallas i det följande
energikordan (inramat diagram i fig. 3).
Vid pinnsnurran kan man genomföra fullständigt analoga
räkningar. Analogin blir tydligare, om man räknar
pinn-snurrans lutningsvinkel 8 från upprättstående läge, så att
denna vinkel 8 är supplementvinkel till kulsnurrans
vinkel 8. Om 2 Q är pinnens tvärsnittsdiameter och L
tyngdpunktens avstånd från pinnens ändyta, får man Z =
= L eos 6 + £>sin 8, Z = — [L sin 8 — q eos 8) • 8 och
J — A + m [L sin 8 — q eos 8)~.
Om man försummar pinnens tjocklek Q, behöver man
blott ersätta d i kulsnurrans formler med —L för att få
pinnsnurrans formler. Energikurvorna är oförändrade,
men energikordan får en negativ vinkelkoefficient; som
för pinnsnurran är Lid gånger så stor som för
kulsnur-ran. För tippetoppen gäller ungefärligen Lid = 15.
För varje lutning u på snurran, utgör den del av
energi-kordans ordinata som ligger ovanför energikurvan ett
relativt mått på den energi som står till buds för snurrans
stjälpning (grovdragen i fig. 3). Skärningspunkterna ux och
u2 mellan kordan och kurvan måste ligga inom rörelsens
möjlighetsområde —1 <U1<U2<II, och eftersom
stjälp-ningsenergin nödvändigt är positiv, gäller att Ui < u < u2,
så att Uy och u2 utgör nutationsgränser. Snurrans axel
måste följaktligen röra sig i mellanrummet mellan de två
koner, vilkas generatriser har lutningen resp. u2.
Fig. 3 visar att ordinatstycket mellan kurva och körda
avtar när lutningen närmar sig någon av
nutationsgrän-serna. Stjälpningshastigheten avtar således och blir noll för
vardera nutationsgränsen. Eftersom u och dess
tidsderiva-tor är analytiska funktioner av tiden, kan snurrans lutning
icke stanna i ett ytterläge, utan stjälpningshastigheten
ändrar tecken och snurrans axel kommer att vagga mellan
de båda nutationsgränserna.
Det analytiska uttrycket för u som funktion av tiden får
man om man inför u i stället för 8 i energiformeln.
Relationen lf = sin2 8 • 8" = (1 — i/2) • 8~ ger då
Högra ledets tredjegradsuttryck har förutom rötterna ux
och u2 även en tredje rot ua, motsvarande energikordans
skärning med någon av de grenar av energikurvan som
ligger utanför intervallet — 1 till + 1. Om man delar upp
högra ledet i linjära faktorer och efter hyfsning löser dt
och integrerar, får man för kulsnurran följande uttryck
för den tid det tar för tippetoppen att stjälpa från läget u0
till läget u
Fig. 4.
Nutationsgränser hos
pinn-snurra vid
försvinnande diameter hos
pinnen; i den
förstorade bilden
nedtill har
energikordan ersatts med en
mot pinnens
diameter svarande
ellipsbåge.
fig. 3, varvid sista termen i högra ledet som funktion av u
representeras av en tredjegradskurva, i det följande korte-
qu)2
med tangentlut-
-/
]/A + md2(l — u2) du _
|/2 mgd[u — Ut)[u2 — u)(u — u3)
R1
- [A + md2[l — u-)] • u" = h[u — u0)(1 — tr) +
+ A (1 — u") — (1 — qu)’’
Den i nämnaren ingående faktorn d visar att
stjälpningsrö-relsen vid kulsnurran går långsammare ju mindre d är, dvs.
ju närmare tyngdpunkten ligger till kulans centrum.
Eftersom energikordans lutning vid kulsnurran är positiv och
mycket liten, kommer roten u3 att vara negativ och ha ett
stort talvärde (se övre diagrammet i fig. 3). Om q hålles
konstant och u varierar blir det därför endast faktorerna
(u — «i) (u2—u) som variera nämnvärt. Tiden blir därför
under denna förutsättning en konstant gånger arcsin u och
u blir approximativt en sinusfunktion av tiden.
Eftersom pinnsnurrans energikorda har större och
motsatt lutning mot kulsnurrans, kommer den tredje roten u3
att vara positiv och ligga nära u2 (se övre diagrammet i
fig. 4). Faktorn [u — ua) i integralens nämnare antar
därför mindre värden, när u närmar sig u2, än när u närmar
sig uv Pinnsnurran reser sig därför relativt snabbt från
lägsta ytterläget för att allt långsammare närma sig högsta
läget. I integralens nämnare skall vidare d utbytas mot L,
varigenom tidsintegralens värden minskas i proportionen
y/^, något som ävenledes bidrar till att stegra den
hastighet varmed pinnsnurran reser sig från sitt lägsta läge.
Om man ej försummar pinnens tjocklek, tillkommer
termen^ (sin 60—sin 8) i uttrycket för pinnsnurrans
relativa nutationsenergi. Detta motsvarar att en ellipsbåge
överlagras till energikordan, varigenom denna får formen av
en nedåtbuktad ellipsbåge (fig. 4). Skärningspunkterna med
energikurvan flyttas därigenom ned, och
nutationsgränserna ut och u2 kommer varandra närmare ju grövre
pinnen är.
Det förtjänar påpekas, att enligt det föregående är det
möjligt för en snurra att automatiskt utan hjälp av
nutationsenergi eller yttre kraftverkan, resa sig ur ett liggande
läge u — us, ifall detta är den undre nutationsgränsen,
Us = uv För att detta skall vara möjligt måste den rörelse
snurran har i sitt liggande läge, exempelvis den rörelse
tippetoppen har då både kulan och pinnen berör
underlaget, vara sådan, att de däremot svarande
rotationsmomenten r och R ger ett g-värde som motsvaras av en
energikurva och en energikorda, vilka skär varandra just
i den punkt som har abscissan u$.
Friktionens inverkan på kulsnurran
För en kulsnurra, vars axel med vertikalen bildar vinkeln
8, kommer den med underlaget gemensamma stödpunkten
att ligga på en meridiancirkel ined radien a sin 8, där a
betecknar kulans radie. Den hastighet varmed denna punkt
följer med i snurrans rotation har talvärdet = a toz sin 8.
På det vågräta underlaget beskriver kontaktpunkten också
en cirkel. Denna cirkels medelpunkt utgöres av
massmedelpunktens horisontalprojektion, vilken ju förutsättes ligga
stilla. Horisontalprojektionen till avståndet d mellan kulans
centrum och massmedelpunkten blir denna cirkels radie,
d-sinØ, och talvärdet på kontaktpunktens hastighet i
planet blir v3 = d cc>£ sin 8-
Så länge dess båda hastigheter är olika äger glidning rum
mot underlaget, och denna glidning uppväcker en
friktionskraft F, som går tangentiellt till de båda cirklarna
genom stödpunkten. Friktionskraften är därför vinkelrät
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
