Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 23. 10 juni 1952 - Tippetoppens teori, av Alfred Liljeström
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
10 juni 1952
537
såväl mot z-axeln som mot Z-axeln. Den påverkar därför
spinnrörelsen med momentet Mz = F a sin 0 och samtidigt
påverkar den precessionen med momentet Mz = F d sin 0.
Om man bortser från den lilla variation i kulans tryck
mot underlaget, som orsakas av tyngdpunktens
vertikalrörelse, kan man enligt Coulombs lag skriva F — f-mg,
varvid / betecknar friktionskoefficienten mellan snurran
och underlaget. Lagen om rotationsmomentet kan då
till-lämpas för komponenterna utefter z- och Z-axlarna. I
avseende på dessa axlar är tyngdkraftens moment noll,
varför man får
t
r = —fmga sin 0 eller r = r0—fmgajsin 0 • dt
R = —fmgd sin 0 eller R = R0 — fmgd J sin 6. dt
(5)
I det speciella fall att ingen friktion verkar, / = 0,
kommer såväl t och R som q att vara konstanta under
rörelsen. I det allmänna fallet kan man införa beteckningen
e = dia och efter eliminering av integralen få sambandet
Rn — R = s(r0— r)
Härav framgår att R minskas betydligt långsammare än
r och q. För tippetoppen är s = 0,1, varför R blott minskas
10 ®/o när r minskas till noll. Sambandet mellan R och r
kan omskrivas till
±ro _ Ä = £ro _ eqR eller g = MlziM
qo R 1 — eq0
Om uttrycket på rjR insättes i formeln för
energikordor-nas avsnitt A på startlinjen u = u0 får man
= i/_ql
C 1(1 -eq,y
(1
■sqY— q2)
(6)
Vid varierande q ger detta en i q graderad kvadratisk
skala på linjen u = u0 och energikordorna utgörs av en
skara i q numrerade räta linjer, gående genom denna
skalas motsvarande punkter. Vinkelkoefficienten för dessa
linjer kan också uttryckas i q
= 2 mg d Ag2 [1 —eg)2
M r08(l — eq0)2
Vid en snurra som startar med stor rotationshastighet är
denna vinkelkoefficient mycket liten, eftersom r2 ingår i
nämnaren, men den ökar något när q avtar från 1 till 0.
För en kulsnurra, som startar med lodrät axel är
q = q0 — 1 och ^ = 2 mgdAir2, men när q avtagit till 0
får man u = 2 mgdAlr02(l — e)2. Lutningen ja ökas således
härvid med ungefär 200 £ °/o, eller för här behandlade
tippetopp ca 20 ®/o.
I detta sammanhang bör framhållas att de termer
(e0 — e1 — mv2) som i det föregående icke medtagits på
grund av sin litenhet icke nämnvärt ändrar
energikordor-nas gång, på sin höjd sänks de en aning.
Genom att variera q erhåller man även en skara
energikurvor. Dessa har linjerna u = — 1 och u = + 1 till
asymptoter, och mellan dessa har varje kurva en minimipunkt
för u = q. Ordinatan i minimipunkten är (1 — q2). När q
avtar från — 1 till 0 flyttas energikurvan varvid dess
minimipunkt flyttas från u — 1 till u — 0 (se fig. 5). Det
intervall inom vilket snurrans lutning måste befinna sig,
dvs. det av kurvan avskurna kordstycket, flyttas samtidigt
mot mindre u-värden, varför snurran tvingas stjälpa mer
och mer. Ju större värdet på Al C är, dess högre ligger
kordorna i förhållande till energikurvorna, och desto större
energi står till buds för snurrans stjälpning.
Ett specialfall
Om man skulle bortse från friktionens relativt svaga
inflytande på R ocli anse R konstant, R = R0, så finge man
vid lodrät start rjR = 1 ocli q0 = 1. Om snurran startar
med stor rotationshastighet, så att även kan försummas,
Fig. 5. Förskjutning av variationsområdet för snurraxelns
lutning (grovt markerade kurvsegment); siffrorna anger i
procent spinnrörelsens rotationsmoment i förhållande till
precessionsrörelsens rotationsmoment.
blir energikordorna parallella med abscissaxeln och de ha
höjden
över abscissaxeln. Om Al C är obetydligt större än 1, går
kordan obetydligt över minimipunkten. Den till buds
stående stjälpningsenergin blir relativt liten. Snurrans
lutning u = eos 0 är då approximativt lika med
minimipunk-tens abscissa, q = rlR0, varför man får den approximativa
relationen q — u, dvs.
r = R0 eos 0 eller <o2 - <o0 eos 0
Om man deriverar ovanstående uttryck på r i avseende
på tiden r — — R0 sin 0 • 0 och insätter detta i formel (5)
så får man 0 = fmgalR0. Snurran stjälper således med
konstant vinkelhastighet, och den tid det tar för snurran
att stjälpa tills skaftet blir vågrätt är således
T =
nCeo0
2 fmga
Denna approximativa formel bekräftar, under liär givna
förutsättningar, vad som i inledningen sagts om den
Bohrska teckenändringsprocessen. Snurrans stjälpningstid
T blir kortare ju större friktionskoefficienten / är, medan
tiden däremot blir längre ju större rotationshastigheten <w0
vid starten har varit.
En elementär betraktelse
I anslutning till här givna resultat har Niels Bohrs son
och assistent Aage Bohr gjort ett intressant påpekande.
Om man vid lodrät start av snurran med stort ><w0, i första
approximationen helt bortser från all kraftverkan, således
både från tyngden och friktionen, kommer snurrans totala
rotationsmoment att vara oförändrat både till riktning ocli
storlek. Totala rotationsmomentet förblir således lodrätt
och liar det konstanta värdet C<oo0. Rotationsmomentels
komposant utefter snurrans axel blir då Co>0cos 0 och
o>- = o „ eos 0. Spinnhastigheten är således proportionell
mot eos 0, så att, när 0 passerar 90°, ändrar
spinnhastigheten tecken.
Genom detta enkla betraktelsesätt skulle man således
kunna förklara den Bohrska teckenändringsprocessen utan
att ägna friktionen en tanke.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
