Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 25. 24 juni 1952 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
592
TEKNISK TIDSKRIFT
Uret betraktas som en homogen cylinder med radien a,
massan m och polära tröghetsmomentet J (då oron är låst).
Oron (som må anses symmetrisk) har tröghetsmomentet j
och fjäderkonstanten k; sålunda blir dess vinkelfrekvens
co0 = Yk : j. Urets och orons momentana utslag från sina
neutrallägen må vara u resp. v enligt fig. 1. Systemets
rörelseenergi blir härvid
T — — J ü?
2
1
1 v*
under det att den i
orofjädern lagrade potentiella
energin är
<P = j U)2
Allmänt gäller enligt
La-grange
d 3 T dT 2<P
dt g
q«
qoc
q*
där
och
Härav
qtx — u ger J u. — k [v — u)
q<x = v ger j v = — k (v — u)
V — U = — k (y + y) (V — U)
som kan skrivas
där
" " V* (j + 7) " V’1 + + Ff)
Sålunda blir
h - irlhö’dvs- i -2-55 •10"
Då uret är upphängt på
ett klent stift vid O
enligt fig. 2 kommer orons
svängningar att ge
upphov till en
pendelrörelse. Upphängningspunktens
avstånd från
tyngdpunkten har betecknats med
b. Systemets
tröghetsmoment Jj kring en axel
genom tyngdpunkten blir
Ji = J + m b2 =■ ~ ma2 +
(Sålunda är J1
a = b.)
Energiekvationerna kan i analogi med föregående skrivas
<P = b(l — eos u) mg + ~ k (v — u)2
varav enligt Lagrange
Ji u + b m g sin u — k (v — u) = 0
j v + k (v — u) = 0
varvid man kan tillåta sig approximationen sin u = u.
Införes dessutom vinkelfrekvensen <o2 för systemets
pendling kring upphängningspunkten
svarande mot svängningstiden
2 7t „ t /
= 2 n
erhålles
bmg
I o k \ *»> n
u + UV + -7- " — ~r = 0
> j 1 / j 1
= o
— 6)02 u + v + co02 V = 0 J
eller om man sätter
T = f •T = £6>°2 («<1)
J i J\ j
(D2 + coi2 + e a>o2) u — e cj02 v = 0
— 6V u + (D2 + av) v — 0
Egenfrekvensen bestämmes av determinanten
D2 + 6>!2 + e 6J02 — e co0r ’
— «02 D°- + «o2 I
dvs.
D* + («o2 + Wi2 + e 6>o2) D- + o)02 «i2 = 0
Om £ vore = 0 skulle denna ekvation ha lösningen
D2 = —o) o2; D2 = — Wi2
Nu är i stället
2 D2 — — cV + o>!2 + e «o2) ±
± )/(öo2 — «i)2 + 2 e O)02 ("o2 + «12) + e2 "o4
Tillåter man sig här en serieutveckling av roten (trots
att (Oq och coj kan bli rätt lika) erhålles
CJ02 \
(D2)i = — ca,2 (l — e
(D2)2 = — (V (l + e
6>02 — Cl>i2
Cl>02_
tJ02 — CJ12
Häremot svarar fød frekvenser
Qo–
1 + e
1 = 6>1 y/l —■
0)Q
Oio2
COi2
«02
CO02 — Oj2
\ 2 CJ02 — (Or!
Den första av dessa ligger nära orons normala frekvens
co0, den senare nära pendlingsfrekvensen (ot. Här kan &
lämnas ur räkningen, då den ej kan underhållas av oron
Insättes s = -j erhåller man
•Öq = Oi0
U + JL : )
\ 2 Ji cj02 — «12/
Antag enligt föregående J1 = 3 J och = 24 . ßq . 6Q
Då blir
co02
11
3 CJ02 — cov
= 18
3 J om varav
cl) o
–= 1,12
Cl)!
Enligt problemtexten är orons svängningstid 0,4 s.
Alltså bleve pendlingstiden 7\ æ 0,4 • 1,12 = 0,45 s.
Det kan här anmärkas att ett litet ur (som alltså pendlar
snabbare) bör kunna ge a^ > <o0 och det drar sig i så fall
efter om det upphänges på ett stift. Det förutsattes härvid
att utväxlingen mellan visare och oro är densamma för de
uren.
En av sign. Hel insänd lösning ansluter sig nära till den
ovan angivna. Problemet har förtjänstfullt behandlats även
av sign. I F.
Problemhörnan återkommer med nästa uppgift i augusti.
A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
