Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 14. 6 april 1954 - Balk på fjädrande underlag, av Allan Bergfelt
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
13 april 1954-
311
Balk på fjädrande underlag
Civilingenjör Allan Bergfelt, Göteborg
Fig. 1. Balk på fjädrande
underlag; definition av positiva
riktningar för nedböjning y, last q
och moment M.
624.072.2
Den enkla teorin för balkar på fjädrande underlag kan
kompletteras genom att man tar hänsyn även till
skjuv-deformationen.
Den vanliga lösningen
Den enkla ekvationen y’"’ = — cb/EI • y för balk på
elastiskt underlag har fått stor användning vid
byggnadskonstruktiva beräkningar. I denna ekvation betyder y
ned-böjningen, I och b balkens tröghetsmoment och dess
an-liggningsbredd samt E balkmaterialets elasticitetsmodul; c
är underlagets fjäderkonstant, definierad såsom det tryck
per ytenhet som åstadkommer nedtryckningen en
längdenhet.
För en lång balk på tiit pålning till fast botten gäller
ekvationen ganska exakt, men tillämpas också såsom
approximation vid balk på friktionspålning eller direkt på
mark, ja t.o.m. för järnvägssyllar. Den gäller också för
kantbalk på konsolplatta, plank på bärsyllar,
ringsymme-trisk koncentrerad last på rör, inspänning av cirkulär
behållares väggar i bottenplatta och symmetrisk last på
sfärisk kupol. För en hög balks mittsnitt ger den
påkän-ningsvärden, som är ungefär lika dem, som las enligt mer
"exakta" metoder, helt enkelt genom uppdelning av den i
horisontalled bärande balken utefter mittvertikalen i två
excentriskt belastade mot varandra upplagda vertikala
balkar.
För spik i trä eller bult i betong gäller den ej8, men har
sedan länge tillämpats för att ge en ungefärlig bild av
förhållandena. Vid en dylik schematiserad beräkning skulle
man få styvhetsförhållanden för balk och upplag sådana att
balkens "elastiska längd" skulle bli ungefär av samma storlek
som dess höjd. Detta förhållande har givit anledning till en
undersökning av hur skjuvningens bidrag till nedböjningen
återverkar på lösningen av ekvationen för balk på elastiskt
underlag. Det skulle tänkas kunna bli ganska stort,
eftersom nedböjningen för t.ex. en konsol med höjden lika
stor som längden är till ungefär lika del sammansatt av
böjningens och skjuvningens bidrag.
Den vanliga lösningen1,23’4 baseras på den elastiska
linjens ekvation, sambandet mellan moment och tvärkraft
samt antagandet att en viss hoptryckning av underlaget
framkallar en däremot proportionell motkraft. Man får
därvid följande tre ekvationer:
dPy
dx2
Kl’
d2 M
(j, fi = ni
Beteckningarna, fig. 1, är såsom ovan med undantag av
att för korthets skull skrivits c i st.f. cb; c betecknar
alltså i fortsättningen trycket per längdenhet balk. Om El och
c antages oberoende av x, och om M och q elimineras, så
fås diy/dxi — — c/EI ■ y. Betecknas c/EI = 4/L4 så blir den
allmänna integralen
— ( x x \
y = e L | A • eos — + B • sin –J +
+ c
C • cosy + D
•sin j)
För en oändligt lång balk försvinner den första termen
och efter bestämning av konstanterna C och D kan man
uttrycka lösningen för vissa viktigare typfall i den på
fig. 2 angivna formen.
Även influenslinjer för inverkan av t.ex. en punktlast
strax innanför änden av en åt andra sidan oändligt lång
balk får man ur dessa typfall genom att betrakta special-
fallet såsom en åt båda sidorna oändlig balk, från vilken
på balkändens avstånd drages den ensidigt oändliga
balken med de i ändpunkten uppträdande värdena på M och
R. Speciella ändvillkor kan också fås genom
sammansättning av två antisymmetriskt belastade balkar.
Skjuvdeformationens inverkan.
Om även deformationen på grund av avskärningskraften
medtages kompletteras den elastiska linjens ekvation med
ytterligare en term till
El GA
G betecknar häri balkmaterialets skjuvmodul och «
formkonstanten för skjuvning x — SA/b I, alltså t.ex. för
rektangulär balk k = 1,5.
Tilläggstermen är endast en approximation och den är
något för stor, eftersom hänsyn ej har tagits till
tvärsnittens välvning på grund av skjuvkraftens variation över
tvärsnittet. Hela beräkningen är dessutom gjord såsom
för en relativt lång balk, trots att den verkar såsom
mycket kort, varför i stället en behandling t.ex. med Airys
spänningsfunktion varit mer riktig.
Fig. 2. Balk på fjädrande underlag.
L–VW
där I är balkens tröghetsmoment i cm’’, E balkens
elasticitetsmodul i kp/cm’, b balkens anliggningsbredd i cm och
c det tryck i kp/cm’ mot mediet som ger detta
hoptryckningen en längdenhet. Exempel: Cylinderskal, v = 0, ger
L = 0,76 yVt och c = Et/r’. Pålning, centrumavstånd a cm
ger approximativt cb = P/af om nedsänkningen är f cm
för P kp per påle.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
