Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 22. 29 maj 1956 - Statistiska frågor i funktionssäkerhetsanalysen, av Rolf Moore
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
536
•TEKNISK TIDSKRIFT
Fig. 1.
Normalfördelningens frekvenskurva.
stämda värdet på pm nära överensstämmer med
a-priori-sannolikheten F/N.
Några statistiska parametrar
Givet är en grupp tal xu x2, . . xN utgörande
slumpmässigt valda värdet av den s. k.
stokas-tiska variabeln X som t.ex. utgör
sammanfattningen av närmevärdena på någon viss storhet.
Medeltalet eller medelvärdet m av talen xu
x2, .. xN är deras summa genom deras antal N.
Spridningen eller standardavvikelsen hos talen
Xlj X2, • • »5 XjY är
Cr, - mf + (xi-mr + -... + (xn-mr
N-1 (1)
Detta har visat sig vara ett lämpligt mått på hur
mycket ar-värdena i genomsnitt är skilda från
medelvärdet m. Uttrycket N — 1 i nämnaren
(antalet "frihetsgrader") kommer av att man endast
kan bilda N — 1 stycken oberoende differenser
av N stycken æ-värden, enär även m är beräknat
ur materialet. I vissa fall är det lämpligare att
kalla spridningen för medelfel.
Variansen är kvadraten på standardavvikelsen.
Spännvidden för ett antal värden är differensen
mellan det största och det minsta värdet soin
erhålles vid en provuttagning. Spännvidden visar
sig stå i ett enkelt, men av antalet beroende,
samband med standardavvikelsen.
Medianen är ett värde så valt att likhet råder
mellan antalet värden mindre än och antalet
värden större än detta värde.
Kvartiler är värden så valda, att antingen en
fjärdedel av alla erhållna värden ligger under
värdet (undre kvartilen) eller att fjärdedel av
alla erhållna värden ligger över det valda värdet
(övre kvartilen).
Typvärdet är det vanligaste eller sannolikaste
värde som erhålles vid en provtagning eller vid
en serie försök. Detta behöver ingalunda
överensstämma vare sig med medelvärdet eller med
medianvärdet.
Några sannolikhetsfördelningar
Binomialfördelningen
Om man t.ex. vid provtagning ur ett stort parti
elektronrör upprepade gånger slumpmässigt tar ut låt oss säga
100 rör för undersökning, kommer man att i medeltal finna
ett visst antal felaktiga rör i varje omgång. Härav kan,
genom division med antalet, sannolikheten p för att få
felaktiga rör beräknas. Emellertid råder härvid blott en viss
annan sannolikhet P för att vid ett givet provuttag få exakt
det antal felaktiga rör som motsvarar sannolikheten p.
Likaså finnes en viss sannolikhet för att t.ex. få precis två
felaktiga rör mer än medeltalet. Genom att undersöka ett
stort antal provuttag om 100 rör i varje, kan man göra
upp en tabell över det antal gånger det inträffar att man
får 0, 1, 2, 3 etc. felaktiga rör per omgång. Genom att
avsätta antalet felaktiga rör per omgång som abskissa och
det antal gånger man erhåller ett visst antal felaktiga rör
som ordinata, erhålles ett stolpdiagram, som anger
fördelningen av antalet fel i de olika uttagen.
Den här angivna fördelningen kan återges med en ur
a-priori-sannolikheterna härledd formel, formeln för
bi-nomialf ördelningen:
Pn(r)= [nr)pr(l-p)n’r
(2)
där Pw(r) är sannolikheten att vid uttag av n individer få r
stycken med en bestämd egenskap då sannolikheten för att
få individer med denna egenskap är p och alltså
sannolikheten att icke få individer med denna egenskap är 1 — p\
j som utläses "n över r" betecknar binomialkoefficien-
n!
ten ——.-— där n! betecknar fakultet n.
r! (n —• r)!
Om p är lika med V2 är binomialfördelningen symmetrisk;
om p är avsevärt skilt från V2 är binomialfördelningen
avsevärt osymmetrisk. För stora n-värden erhålles dock
i regel god symmetri i närheten av medelvärdet.
Binomialfördelningens medelvärde, dvs. medelvärdet av
variabeln r med hänsyn till dess sannolikhet är np och
dess standardavvikelse ärj/np* (1 — p).
Poisson fördelningen
Om i binomialfördelningen sannolikheten p är liten och
antalet per omgång undersökta individer n är stort, medan
produkten np antar normala värden, t.ex. 1—15 för n lika
med 100, kan binomialfördelningen ersättas med
poisson-fördelningen
(np)r e~nP
Pn(r) =
r!
(3)
med samma beteckningar som i formeln för
binomialfördelningen.
Detta beror på att man därvid i binomialfördelningen
kan approximativt ersätta ;—med nr och (1 — p)n =
(n — r)\
— — j med e-"P varjämte (1 — p)’1 kan sättas = 1.
Som approximation till binomialfördelningen gäller
formeln bra för icke alltför höga r-värden, i varje fall om
enligt förutsättningen n är stort och p litet och brukar
därför betecknas som de sällsynta händelsernas
sannolikhetsfördelning.
I princip är poissonfördelningen en sned fördelning enär
värdet på p är litet. De stora n-värdena ger dock i regel
ganska god symmetri närmast kring medelvärdet.
Medelvärdet för poissonfördelningen är np och
standardavvikelsen V np enär för små p parentesen (1 — p) i
binomialfördelningens standardavvikelse kan sättas lika med 1.
Härigenom blir poissonfördelningen endast beroende av en
enda parameter, nämligen np, och medelvärde och
standardavvikelse kan ej som i binomialfördelningen och
normalfördelningen väljas oberoende av varandra.
Normalfördelningen
Normalfördelningens s.k.
formen
frekvensfunktion, fig. 1, har
1
(x — m) 2
VT.
(4)
och erhålles ur binomialfördelningen genom gränsövergång
då man låter n gå mot oändligheten och sedan inför
medelvärdet m = np och standardavvikelsen o = 1 np[l — p).
I stället för den diskreta variabeln r har införts den
kontinuerliga variabeln x. Stolparna i binomialfördelningens
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
