Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - 1957, H. 10 - Framtidens automatiska siffermaskiner, av Herman H Goldstine
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
600 ord. Den tid som de icke-multiplikativa
delarna av problemet krävde framgår av att
hela lösningstiden var ungefär 2,6 gånger
multiplikationstiden.
Hyperboliska ekvationer
med flera variabler
Möjligheten att lösa hyperboliska ekvationer
med mer än två oberoende variabler skulle
betyda ett avsevärt framsteg inom
vätskedynamiken. Möjligheten att behandla hyperboliska
system i fyra oberoende variabler skulle
mycket nära vara det sista steget som man
behöver för att räknemässigt behärska problemen i
hydrodynamiken. Räknevolymen liksom
minnesutrymmet för hydrodynamiska problem i
tre eller fyra oberoende variabler växer
mycket snabbt. Detta beror på att antalet punkter
stiger exponentiellt med rymddimensionen.
Vi kan studera situationen något mera
detaljerat genom att fortsätta behandlingen av
tryckvågsproblemet och därvid låta kravet på
sfärisk symmetri falla, t.ex. kan vi låta
gravitationen inverka. Därmed ersätts vår
ursprungligen formulerade situation av en ny
i två rymdkoordinater. Om vi behåller
samma rymdupplösning som tidigare så får vi
ett hundrafaldigat rymdnät och
multiplikationsarbetet blir därför minst hundra gånger
så stort som förut.
Eftersom vi nu har två ytterligare kvantiteter,
behöver vi två rymdvariabler, två hastigheter
och en energivariabel, dvs. fem storheter där
vi tidigare behövde tre. Arbetet har på grund
av detta ökat med minst fem tredjedelar, dvs.
våra 5 • 107 multiplikationer ökar till ca 8 • 109
sådana. Vidare växer fordringarna på
minnesutrymmet kraftigt. Med fem storheter per
punkt och 10 000 punkter måste nu 5 • 10*
storheter återfinnas i minnet samtidigt bara för
detta tredimensionella problem.
Naturligtvis kan en upplösning med 100
punkter per sida i rymdnätet anses orimligt
hög. Det är troligt, att en avsevärt lägre
upplösning skulle vara tillräcklig. Detta kan
studeras ytterligare i följande problem.
Både von Neumann och jag har nyligen
behandlat beräkningen av "Taylor-instabilitet" i
gränsytan mellan en tyngre och en lättare
vätska i två dimensioner. Vi placerade den
tyngre vätskan ovanför den lättare, störde
gränsytan med en period av en sinusvåg och
önskade studera den följande rörelsen. Detta
problem är icke-linjärt och instabilt. Allt
eftersom tiden fortskrider uppträder
Fourier-kom-ponenter av alla ordningar i gränsytan.
Uppkomsten och tillväxten av dessa övertoner är
en av de väsentliga egenskaperna i rörelsen.
Om vi antar att man behöver ungefär fem
punkter för att någorlunda representera en
si-nusperiod av en given frekvens så kan man
inte använda ett nät av 20 punkter efter en
sida för att representera mer än fjärde
övertonen. Detta är en ganska låg upplösning och
50 punkter i varje rymddimension synes vara
mera rimlig.
Detta ger oss ett rymdnät med 2 500 punkter
med fem storheter per punkt och det totala
minnesbehovet blir 1,25 »10* kvantiteter. Detta
är nu fjärdedelen av vårt tidigare antagande.
Vi kan därnäst studera den
multiplikationstid som behövs för problemet. Ungefär 50
multiplikationer per punkt behövs; det
betyder 1,25 • 105 multiplikationer per tidssteg. Det
behövs minst 1 000 tidssteg och denna
överslagsberäkning visar alltså att 1,25 • 108
multiplikationer skulle vara det minsta antal som
behövs för behandling av ett sådant problem.
Med kontroll av resultat m.m. växer detta till
5 • 108.
För ett problem i tre rymddimensioner växer
vårt behov på följande sätt. Ännu en
dimension med 50 punkter skulle medföra ett
femtio-faldigande av arbete och minnesutrymme. I
själva verket behövs det mer än så. Antalet
beroende variabler har nu växt från fem till sju
så att arbetet per rymdpunkt har gått upp i
förhållandet 7 till 5 liksom även
lagringsutrymmet. I stället för 5-108 multiplikationer får vi
nu 3,5 • 1010 eller mera och i stället för 1,25 • 10*
storheter i minnet har vi nu 8,75 • 105.
I det tidigare behandlade problemet med
tryckvågen var totaltiden för lösningen 1,6 gånger
multiplikationstiden. I några andra fall har
totala lösningstiden varit så lång som sex gånger
multiplikationstiden. Man kan anse att tre
gånger multiplikationstiden är ett genomsnitt.
Den hydrodynamiska ekvationen av
hyper-bolisk typ torde per beräkning innebära
motsvarigheten till 10u multiplikationer och ett
samtidigt utrymmesbehov av nära 10®
storheter i minnet. Även om vi minskar antalet
punkter från 50 per sida till 25 minskar vi
endast antalet multiplikationer med faktorn 8
och likaså minnesutrymmet.
Vi kan sammanfattningsvis säga att problem
av tredimensionell hydrodynamisk typ leder
till hyperboliska system av partiella
differentialekvationer som fordrar motsvarigheten per
problem av 1010—10u multiplikationer och
medför behov av minnesutrymme för samtidig
lagring av 105—10" enheter.
Lösningen av ett enda problem av denna
storlek på en maskin som multiplicerar på
100 fxs skulle fordra 300—3 000 h räknetid. För
en maskin som multiplicerar på 10 jis faller
tiden till 30—300 h och kommer vi ner till
multiplikationer på l^is behöver vi 3—30 h.
Vi finner alltså, att även för en mycket snabb
maskin som multiplicerar på 100 |xs är ett
enda problem för stort, i synnerhet som vi
inte har tillåtit någon tid för service m.m. För
en maskin som multiplicerar på 10 ^s kan vi
utföra ett enda problem, men 10 problem blir
för mycket. Däremot skulle en maskin som
multiplicerar på 1 |xs mycket väl kunna
behandla 10 problem av denna typ.
Paraboliska ekvationer
Situationen för paraboliska ekvationer är
mycket lik vad vi just har diskuterat endast
med ett undantag. Den numeriska metod som
TEKNISK TIDSKRIFT 1957 jf!5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
