Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - 1962, H. 6 - Debatt: Grustäkt, av Axel Stenberg, Björn Burénius - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
kanten av åsen, har dock genom årtusenden och
genom mänsklig odling kommit att likna vilken
leende insjö som helst i Mellansverige; den är
ganska näringsrik och har avlopp. Någon mil nordost
därom mellan sjöarna Yngen och Vällingen har vi
däremot tjärnar i åsen utan synligt till- och avlopp
— en kallad Yngens öga. Dessa motsvarar mera de
sjöar man tänker sig i samband med
grustäktspla-ner. På skjutfältet i Boden har staden ett utmärkt
bad i en sådan naturlig sjö på sandheden och
konstgjorda småtjärnar finns på flera håll i
Stockholmstrakten.
"Låt oss således inte tänka oss framtidsbilder av
gamla grustag med grundvattensjöar i bottnen"
slutar Axel Stenberg. Jag tror i stället, att det är just
det vi måste tänka oss, men endast på ställen där
risk för skada på grundvattnet kan sättas nästan
lika med noll. Skall man skona den vackra
Mälardals-naturen från förfulning genom planlös grustäkt
måste man nog tänka om på många håll. Man bör
inte bli chockad, om någon föreslår att vi nu skall
ta den eller den ön i Mälaren och gräva bort den,
såväl över som under vattnet, och inte bara skapa
en jättestor rötad tand, som tyvärr är så vanligt.
Men man bör inte sprida verksamheten mer än vad
som absolut är nödvändigt, utan man bör ta en ö
eller åskulle i sänder ■—- i princip, men där med
desto friskare tag. Och laga vad som lagas bör av
fula sår —- snarast! Björn Burénius
problemhörnan
Problem 10/61 lydde: Konstruera eller beräkna
medelpunktens läge samt radien till en cirkel, som
tangerar tre givna cirklar!
Orten för medelpunkten till cirklar som tangerar
två givna cirklar A och B, fig. 1, representeras av
en hyperbel med brännpunkterna i cirklarnas
medelpunkter, eftersom hyperbeln ju är orten för
punkter vilkas avstånd från två givna punkter har
en konstant skillnad. Den ena hyperbelgrenen (/)
ger centrum till cirklar som med sin utsida
tangerar de givna; hyperbelgrenen II motsvarar det fall
att bägge de givna cirklarna tangerar ortscirklarna
invändigt. Härutöver erhålles ytterligare
hyperbel-grenar (III resp. IV) som medelpunktsorter för
cirklar som med sin insida tangerar cirkeln A och med
sin utsida cirkeln B —- och omvänt. Hyperbeln I—II
får ett vertexavstånd (dvs. en storaxel) som är lika
med a —■ ß, den andra ett vertexavstånd lika med
a + ß. I det specialfallet att en av de givna
cirklarna är helt omsluten av den andra, blir den sökta
orten i stället en ellips.
Om utanför de två givna en tredje cirkel C (radie
y) införes, kan man beräkna eller konstruera två
par hyperbelgrenar även för t.ex. cirkelparet A och
C. Lösningen till uppgiften ("Appolonius’ problem")
består sålunda väsentligen i att finna
skärningspunkterna mellan en första grupp av 4
hyperbelgrenar (motsvarande cirklarna A och B) och en
grupp av 4 andra hyperbelgrenar, alternativt mellan
2 ellipser eller mellan en ellips och två hyperblar.
Fig. 1.
Fig. 2.
Av alla tänkbara skärningspunkter visar sig högst
8 vara reella och olika.
Apollonius’ problem har behandlats bl.a. i "Plan
geometri" av Hyltén-Cavallius & Sandgren och i
"Modern geometri" av Shively (Ög). Dessutom har
en besläktad uppgift tidigare förekommit i
Problemhörnan (nr 5/56). Det kan därför anses överflödigt
att här gå in på någon matematisk eller geometrisk
behandling av uppgiften. Dock kan det ha sitt
intresse att studera följande, av H Hägglund
framtagna och med nödvändighet tämligen komplicerade,
generella formel för den sökta radien r:
, , = Z[<xal + (<x + ß)a*b* + (<x-ß)(<x-y)(.2oc + ß + y)a*]±TVll
|r| ß){cc-y)a2~ 16T2
Här har sträckorna a, b och c den betydelse som
framgår av fig. 2. T är ytan av triangeln ABC;
II är produkten [a2 — (ß — y)*} ■ [b2— (a — y)2] •
• [c2 — (a — /?)2]; summorna [2) är permuterade på
analogt sätt av 3 termpar resp. termer. Beträffande
teckenval gäller följande:
1. Den sökta (prickade) tangentcirkeln ligger helt
innanför någon av de givna cirklarna, fig. 2, varvid
tecknen för a, ß och y väljes enligt samma figur.
2. Alla övriga fall. Tecknen framför a, ß och y
väljes negativt för sådana cirklar som omslutes av den
sökta tangentcirkeln.
Villkoret för att tre cirklar skall ha en gemensam
tangent är att nämnaren i (1) antar värdet noll,
varav
Z{ot - ß)(oc - y)a* = 4 T2
(2)
I diskussionen kring problem 10/61 har deltagit
L Hedlund samt sign. Algot, HL, POO och Ög.
Fig.
Problem 2/62. Visa att krökningskordan genom
en godtycklig punkt T på en konisk sektion (i fig.
3 kordan TS, varvid S bestämmes av den till
punkten T hörande krökningscirkeln) bildar samma
vinkel med en figuraxel som tangenten genom punkten
T, dvs. att vinklarna a och ß är lika. Uppgiften har
viss anknytning till problem 8/61, "Ellipsnormalen".
ALg
124 TEKNISK TIDSKRIFT 1 962 H. 5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
