Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Nr. 13. 29 mars 1912 - Støtpaavirkning og bøining, av Gj. Hviid
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
176
TEKNISK UKEBLAD
Nr. IB 1912
kommen uelastisk o: udeformerbar i
sammenligning med bjelken, en forutsætning
som for staal- og slanke smijernsbjelker
uten videre er tillatelig.
Under de nævnte forutsætninger skal
der i det følgende avledes et simpelt
uttryk for bøiningspaakj endingen i det
sterkest paavirkede tversnit.
I sammenstøtets øieblik utvikler vegten
Q en bevægelsesenergi av størrelse
(1)
hvor m er vegtens masse.
Denne energimængde avgives til
bjelken i form av mekanisk arbeide, som
bortset fra varmeutviklingen, medgaar til
at bøie bjelken. Betegner vi det her
utviklede formforandringsarbeide ved A, kan
ligning (1) skrives
Fra elasticitetsteorien vites at det
totale formforandringsarbeide for bøining
bestaar av to deler: Momenternes og
tver-kræfternes formforandringsarbeider.
Sidstnævnte er i sammenligning med
bøinings-arbeidet saa ubetydelig at man i
almindelighet abstraherer fra dette.
For den foreliggende belastningsform
er momentarbeidet lik med det halve
produkt av den bøiende kraft og den
elastiske sænkning i kraftens
angrepspunkt og retning.
Vi skriver derfor ligning (2)
id m‘ v*
■y P • Umax — q (3)
Ligningen indeholder som ubekj endte
størrelser P og ymax.
Til bestemmelse av y gaar vi ut fra
ligningen
Fy M
& ~ -1E. I
(4)
som er den elastiske linjes
differentialligning. E betyder elasticitetskoefflcienten
og I tver snittets træghets moment.
De to fortegn hitrører derfra at
bjelken efter sammenstøtet svinger frem og
tilbake, og da y, linjens ordinater, avtar
efter hver svingning, men aapenbar av-
M
hænger av ——- er størrelsen cp indført
E . 1 ’
som proportionalitetsfaktor. Der lar sig
nu ikk si noget bestemt om cp, men fra
støtets begyndelse til det tidspunkt hvor
y har naadd sit maksimum, kan man
sætte cp = 1, da der her ikke kan være
tale om nogen egentlig svingning. Regner
vi nedadgaaende ordinater negative, kan
ligning (4) skrives.
d2y 4/
dx2 ~~ E .1
Nu er
M= 2
altsaa
ret
dx2 ’ 2 . E . J
Denne lignings almindelige integral
lyder
_ f f . P . x dx
y — (Zx -—g/Ef T Oi x -|- ^2- (’)
For at bestemme
integrationskonstanterne Ci og C2 integrerer vi ligning (6),
man finder, med P, E og I som
konstanter
dy = P. x2
dx • iE.!^ 1
For x = — er — = (ø a = 0
2 dx
altsaa
eller
For at bestemme C2 sættes i ligning (7)
x = 0, dette gir y — 0, altsaa ogsaa
C2 = 0.
Herav følger
P f 9 7 , Pl2X
y =––-i——v I x2 dx 4- — - ——
J 4.E.1 ] ’ 16 E . I
Pl2x Px3
~ 16 .ÉH 12 ET’
og efter nogen omforming
PI3 (x 4 x3\
y ~ 16 e.T \7“ TF)
For enhver værdi av x gir dette uttryk
os et bestemt maal for den elastiske
sænkning, det forestiller altsaa ligningen
for den elastiske linje For x =-— er y
maksimum; man finder
1 PI3
Umax 4g ’ (7
Indsat i ligning (3)
1
48 ’
hvorav
P2. I3
ÉTT
= m . v2,
i/ 48 . É. I
p
(10)
Materialspændingen k/, kan nu
bestemmes ved den bekjendte ligning
P. I
-41 max = —— — = kb. II,
hvor W er tversnittets motstandsmoment.
Det fundne uttryk for P, ligning (10),
kan ogsaa umiddelbart avledes av den
bekjendte ligning for det elastiske
formforandringsarbeide, som bortset fra
forsky vningsarbeidet har den bekjendte form
1 f Af2 . dx
A = 2J“e7T ■
1 det foreliggende eksempel er det
totale bøiningsarbeide
A = 2 .
2
1 f M 2 . dx
2 J E .1
Med E og I som konstanter og ved at
indsætte i ligning (2) findes, idet
i
2
m v2 1 CP^.x2
––-— ––-I–––- 4x .
2 E. I 4
2
P2. 1 2 _ P2.l3
4 ,E T ‘ “96 . E . 1
x~ O
hvorav
48 . E . I
l3
som sees at være det samme uttryk som
ligning (10).
Paavirkes bjelken usymmetrisk eller
paa flere punkter, stiller opgaven sig
naturligvis vanskeligere; i saadanne tilfælder
har man at utføre flere integrationer
svarende til de forskjellige strækninger.
Belastes saaledes bjelken som fig. 2
viser, er formforandringsarbeidet
C c,
1 f 1 f 2
O o
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
