Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
-fp(x)dx
-fq(x)è
fp(x)dx
Ex.
y= e | C— / q (x)e r dx
-+ay = sin bx
ÈL
dx
-fadx r r fadx ]
y—e [ C-\-J sin bxe dx J —
g-a^C-f-+ysin bxdx) =
asinbx—bcosbx
=e« C+e«–q^-
2. Differentialekvationer av högre
ordning
dny
Typen ^ =f(x). Man integrerar n
gånger:
y-fj - • ./f(x)dxdx ... cfx+c1x"-l+
Ex.:
y" =sin x
y =fs\rv xdx + ct = —eos x+Cj
y" =—f eos x dx + Ci x+c2 = —sinx+
-f-Cj x+c2
Linjära differentialekvationer. Ekvationen
p0(x)yM+p1(x)y<in-i)+pÅx)y(n 2)+ ... +
+Pi(.x)y+p0(x)=<p(x)
säges vara linjär, emedan den obekanta
funktionen y och dess derivator uppträda
linjärt, dvs. i l:a graden. Om <p(x)=0,
säges ekvationen vara homogen, eljest in=
homogen eller fullständig.
Om Y(x) är en partikulär lösning till den
fullständiga ekvationen och yi(x),y2(x),...,
yn(x) äro lineärt oberoende lösningar till
den homogena ekvationen [dvs. det exi*
sterar intet samband 0 = a1y1(x) + a2y2(x) +
+ .. . + anyn(x), där alt a, osv. äro konstan*
ter], så är allmänna lösningen till den full*
ständiga ekvationen: y= Y(x) + C{yt(x) +
+ C2y2(x) + ...+Cnyn(x). Här äro Ct, C2,
..., Cn godtyckliga konstanter.
Linjära, homogena differentialekvationer
med konstanta koefficienter.
Ekvationen
a0y(n)+a1y("-1)+ ... +an.{y+an =0
(a0, a1(..., an konstanter) löses genom "an=
satsen" y=e^x. Genom insättning finner
man, att Ä måste satisfiera ekvationen (av
n:e graden)
Härur fås som rötter de n st. ^värdena
• • • • Om dessa alla äro olika, blir
den allmänna lösningen:
y=C1e^x+C2e**x+C3e*°x+ ... + Cne*n*
Finnas däremot dubbehrötter, t. ex.
K=K= • • • =K-K+i~^v+2= ■■■ =
v+u
etc.
blir allmänna lösningen:
y=(C1+C2x+ ... +C„xv-1) e^+(C„+1+
Rötterna till A*ekvationen kunna givetvis
bli komplexa, men om dess koefficienter
äro reella, bli rötterna parvis konjugerat
komplexa. Det är då lämpligt att införa
trigonometriska funktioner.
Ex.: Om ?-1 = p + iq och = p—iq, så fås:
Q^-fQe^^eP^Q+Q) eos qx+
-\-iepx(C1—C,) sin qx =c1ep* eos qx-\-
-j-c2epx sin qx=c3epx sin (qx+c4)
där c3 och c4 äro godtyckliga konstanter.
Ex.: Lös ekvationen
(svängningsekvationen)
110
INGENJÖRS HANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
