Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Fouriersserier - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
MATEMATIK
Kap. 12. Fourierserier
Funktioner, som äro periodiska och
deriverbara, kunna utvecklas i Fourierserie.
Iiar en funktion <p{t) perioden co, övergår
den genom variabelbytet x — t
funktion f(x) med perioden 2n.
2 n
till en
Fourierutvecklingen av f(x):
f(x) = a0+at eos x+a, eos 2x+a3 eos 3x+
+ sin x+b2 sin 2x + b3 sin 3x+. . .
av och bv kallas Fourierkoefficienterna
till /(*).
Genom att sammanfatta termer med lika
index erhålles:
f(x) = a0 + c1 sin (x + cfj + cg sin (2x + d2) +
+ c3 sin (3x+d3) +...
där ck = Yak + hk och dk = arct§ y
dv kallas fasförskjutning.
I en punkt x, där /(x) är diskontinuerlig,
men lim/(x+e)=/(x+0) och lim/(x—e) =
£-0 £-0
= /(x—0) existera, har Fourierserien värdet:
fl*+0)+/(*-0)
2
dvs. medelvärdet av gränsvärdena på ömse
sidor om diskontinuitetspunkten.
Om en funktion är deriverbar i alla
punkter och derivatan själv är en funk*
tion, som kan utvecklas i en Fourierserie,
så kan den erhållas ur Fourierserien för
den ursprungliga funktionen genom deri*
vering term för term. Detta gäller ej om
exempelvis /(x) tar en diskontinuitet. Se
exempel 1 nedan, där derivering term för
term ger den divergenta serien —2(cosx +
+ cos 2x + cos 3x + ...).
Bestämning av Fourierkoefficienterna (har=
monisk analys)
. 2ji
UfMdx
ln
av=—-jtf(x) eos rx dx (y= 1,2,3,...)
77 o
J 2 71
bv = —J~/(x) sinvx dx
Specialfall
1. Är †(x) en jämn funktion: /(—x)=/(x),
försvinna sinustermerna: & = 0.
2. Är /(x) udda: f(—x) = —/(x), försvin*
ner konstanta termen och cosinuster*
merna: a0 — 0, ay = 0.
Fourierserien för en funktion F(x) med
perioden co:
F(x) = A0 + A1 eos
2nx
+A2 eos
2 nx
2+
+Az eos–3 + .. .+Bi sin–h
co oo
. 2^x _ . 2-TX _
+ Bo sin–2 +Bo sin–3 +...
co ’ co
1 w
A0=±ff(x)dx
B=±/F(x)sm (y^]dx
Exempel på Fourierserier
1. Funktionen f(x) — x, då 0<x<2^, med
perioden 2n (fig. 12/1).
/(*) = *-.)
2. Rektangeln
Funktionen /(x) = a, (0<x0); f(x) =
= — a, (^<x<2^r) med perioden 2n
(fig. 12/2).
142
INGENJÖRS HANDBOKEN I
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
