Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
NOGLE BEMÆRKNINGER OM DE DIRICHLETSKE RÆKKER. 53
Som jeg har vist i den ovenfor citerede Afhandling, spiller
den ligelige Konvergenslinie d = <3C en særlig Rolle for de
Dirichletske Rækker, idet Beliggenheden af denne Linie - i
Modsætning til de to andre Konvergenslinier ö - ÖA og
<5 = dß - kan bestemmes paa yderst simpel Maade udfra
Kendskabet til den ved Rækken fremstillede analytiske
Funktion. I den foreliggende lille Note skal jeg ikke komme ind
paa dette Forhold, men skal fra et andet Synspunkt vise
Betydningen af Indførelsen af den ligelige Konvergensabscisse,
idet jeg skal vise, hvorledes man i talrige af de (indbyrdes
ret forskelligartede) Sætninger om Dirichletske Rækker, der
begynder saaledes: »For enhver Dirichletsk Række med
<5ß < oc, d. v. s. som ikke er overalt divergent, gælder det, at
hvis Rækken ogsaa besidder et absolut Kon verge
ns-omraade, d. v. s. hvis ogsaa <3A er < oo, da er ...« uden
videre kan erstatte de udhævede Ord med »hvis Rækken
ogsaa besidder en ligelig Konvergensplan, d. v. s.
hvis ogsaa oc er << oc.« Dette betyder en væsentlig
Reduktion af Forudsætningerne, idet Betingelsen C5C <C o°
ingenlunde medfører, at ogsaa o^ < oo. Den fremsatte Paastand
begrundes paa følgende Maade:
Den Brug man ved de Sætninger, jeg tænker paa, gør af
Antagelsen om, at den betragtede Række (i) har en absolut
Konvergensplan, bestaar udelukkende i, at man derudfra
slutter, at for »meget« store Værdier af Abscissen <3 vil
de første Led i Rækken (i) fuldstændig overveje
Resten, idet vi herved forstaar, at dersom N er et
vilkaarligt fast positivt helt Tal, vil Rækkens Sum f (s) kunde skrives
paa Formen
n=l
(s)-^o for ö - ^oc, d. v. s. hvor R (s) \ «< E for alle s,
hvis Abscisse d er større end et vist Tal ox = o1(e, N). Hvad
det drejer sig for os om at vise er altsaa, at for at kunne slutte
om den ved Ligning (2) definerede Funktion J?(s), at den
->O for a->oo, er det tilstrækkeligt at vide om Rækken (r),
at ö c er << oc (i Stedet for at <3A er < oc). Dette kunde
synes umiddelbart indlysende, idet man kunde være fristet til at
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
