Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Integralregning - Integrator - integrere
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has been proofread at least once.
(diff)
(history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång.
(skillnad)
(historik)
Differentialkvotienten af xn+1 er = (n+1) xn, følger
saaledes (for n+1 forsk. fra 0) ∫ xndx = xn+1 / n+1 +c.
Hvis et Integral ikke kan udtrykkes ved
bekendte Funktioner, er det altsaa selv en ny
Funktion; som Eksempler paa saaledes
definerede Funktioner kan nævnes de af Abel
undersøgte Integraler af algebraiske Funktioner.
Til Integration af Differentialligninger, til
hvilke saa mange vigtige Problemer i Geometri
og Mekanik fører, kan der heller ikke gives
nogen alm. Anvisning, naar undtages enkelte
specielle Klasser af Ligninger; her saavel som
ved Integration af forelagte Funktioner kan
man dog alm. danne Rækkeudviklinger for de
søgte Integraler. Den største praktiske Bet.
har I. gennem sin Metode til Bestemmelse af
Summer af uendelig mange
uendelig smaa Størrelser. En Sum af
Formen: f(d) (x1—a)+f(x1) (x2—x1)+f(x2)
(x3—x2) . . . . +f(xn)(b—xn), hvor f(x) er en reel
Funktion af den reelle Variable x, der er endelig
og kontinuert for alle Værdier af x mellem de
givne Tal a og b, medens x1x2x3 . . xn er en
Række mellem a og b indskudte Tal, vil nærme
sig til en endelig entydigt bestemt Grænse,
naar x’ernes Antal forøges i det uendelige,
medens de Dele, hvori de deler Intervallet fra
a til b, aftager til o, og denne Grænse kan
alm. findes ved, at man i et Integral af f(x)
indsætter først b, saa a og subtraherer
Resultaterne. Det her sagte vil ogsaa gælde, naar
f(x) er diskontinuert i et endeligt Antal
Punkter ell. endog — under visse Betingelser — i
uendelig mange Punkter. Den nævnte Grænse,
det bestemte Integral af f(x) fra a
til b, betegnes ved b∫a f(x)dx; Tegnet ∫ var
opr. et S (Sum), og f(x)dx, hvor dx ligesom i
Differentialregningen betegner en uendelig
lille Tilvækst til x, giver den almindelige
Form for Addenderne. Flerdobbelte bestemte
Integraler som d∫c b∫af(x,y)dxdy er paa lignende
Maade Udtryk for de Summer af uendelig smaa
Størrelser, som man faar ved at kombinere de
mellem Grænserne indskudte Værdier paa alle
mulige Maader i f(x,y). Er f(z) en Funktion af
en kompleks Variabel z=x+iy, defineres
b∫a f(z)dz paa lgn. Maade som ovf., idet man i
en Plan, hvis Punkter fremstiller de
komplekse Tal (s. d.), vælger en Bue med
Endepunkter i de til a og b svarende Punkter og
indskyder et i det uendelige voksende Antal
Punkter paa Buen. Forsk. Valg af Buen giver
Værdier for Integraler, som enten er lige store
ell. afviger fra hinanden ved Multipla af visse
ved Integralet bestemte Tal. Mangfoldige
vigtige Størrelser er definerede som Summer af
uendelig smaa Addender, saaledes Buelængder
(som Grænser for omskrevne brækkede Linier),
Rumfang, krumme Arealer (som Grænser for
omskrevne Polyederflader), Momenter,
Inertimomenter. Man maa ofte for at bringe disse
Summer paa den Ovenstaaende Form ombytte
Addenderne med andre, hvis Afvigelser fra de
opr. er uendelig smaa i Sammenligning med
disse; derved vil Summens Værdi ikke
forandres. Et simpelt Eksempel er det, der ledede
til I., nemlig Bestemmelsen af Arealet ABCD,
begrænset af Kurven med Ligningen y—f(x),
Ordinaterne AB og DC svarende til
Abscisserne a og b samt Abscisseaksen. Man kan dele
dette Areal i Strimler ved indskudte Ordinater
og derpaa i disse Strimlers Sum ombytte hver
Strimmel som MPQS med Rektangelet MPNS,
der netop er = f(x4) (x5—x4 idet x4 og x5
er Abscisserne til P og Q. Grænsen for den
saaledes ændrede Sum, altsaa b∫a f(x)dx, vil være
Udtrykket for Arealet ABCD. Til
approksimativ Beregning af bestemte Integraler haves
Tilnærmelsesformler (se Simpson’s Formel)
og mek. Metoder (se Planimeter). Allerede
Archimedes foretog f. Eks.
Rumfangsbestemmelser ved Deling i uendelig smaa Dele og
disses ovf. omtalte Ombytninger med andre, men
kunde kun ved særegne Kunstgreb udføre
Summationen, og det samme gjaldt endnu de store
Matematikere, der i 17. Aarh. banede Vejen for
Infinitesimalregningen, Keppler, Cavalieri,
Fermat, Pascal, Wallis. Den vigtige Opdagelse, at
Kvadraturen ɔ: Arealberegningen er den
omvendte Operation af Differentiationen og altsaa
kan udføres ved Integration, skyldes Newton,
der ogsaa foretog Integrationer ved at udvikle
Funktionen under Integraltegnet i Række (se
dog Barrow. I.). Leibniz indførte Tegnet ∫,
og det var ham og Newton, der først
opstillede Regler for Integration og derfor maa
regnes for I.’s Skabere. De senere store
Matematikere, saasom Bernoulli’erne, Euler,
d’Alembert, Lagrange, Abel, Jacobi o. m. a., har alle
knyttet deres Navne til vigtige Fund inden for
I. Overgangen fra Betragtningen af det
bestemte Integral som et Areal til den ovf. givne
almindeligere algebraiske Definition skyldes
Riemann; et mere omfattende Integralbegreb
er i den nyeste Tid opstillet af Lebesgue.
Endelig har Gauss og Cauchy udvidet I. til
komplekse Variable og derved skabt Grundlaget for
den moderne Funktionsteori. Mellem de
Matematikere, der har udviklet Læren om
Differentialligningers Integration, maa fremhæves
Cauchy og Lie. (Litt.: Som et nyt og meget
omfattende Værk over I. kan nævnes Jordan,
Cours d’analyse de l’École Polytechnique [3.
Opl. 1900]).
Chr. C.
Integrator (mat.), et Apparat til mek.
Udførelse af Integrationer (se Planimeter).
En eng., mere sammensat I., ved hvilken man
kan danne Rækkeudviklinger for grafisk
fremstillede Funktioner, findes beskrevet i »Tidsskr.
f. Matematik« 1888—89.
Chr. C.
integrere (lat.), se Integralregning.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
