Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
R+ pL
1 ept
V ’
dp
PC ’ " K + pL + pc
Med hjälp av superpositionsprincipen kunna vi nu
sammansätta alla delströmmar ip till en totalström
c+joo
1 r eP’
J 7
C — i co
1
. dp
R + pL
Här är tydligen
R + pL + -
pC
just Heaviside’s
pC
e(t) =
c + jco
r eP<
i 71]
■ E(p)- dp
-]00
alltså
e (t) = E (p)
så leder vårt föregående resonemang i stället till en
ström
i (t) ==H (p) • E (p)
Yi återfinna alltså regeln, att man skall ersätta
emk:n med sin operator.
Kontinuerliga system innebära ej heller någon
komplikation. Enda. skillnaden blir, att vi få
operatorer H (p; x,...), som äro funktioner av en eller
flera rumsvariabler x,....
I Bromwich-Wagners integral ha vi en fast grund
för en härledning av alla operatorkalkylens regler.
Nu torde teknici i allmänhet ej vara särskilt
hemmastadda i teorien för komplexa integraler och det kan
synas som om min framställning vore på väg att bli
betänkligt komplicerad. Men operatorkalkylens raison
d’ëtre är just, att man tack vare den kan undvika
i Se t. e. K. Dahr : "A Course of Integrational and Ope-
rational Calculus", Stockholm 1935, p. 10.
den direkta behandlingen av komplexa integraler.
Operatorkalkylens skrivsätt är ingenting annat än
ett stenografiskt skrivsätt för integraler av
Bromwich-Wagners typ och alla dess räkneregler utgöra ett en
gång för alla uppställt "exercisreglemente" för
omformning och lösande av sådana integraler.
Yi kunna jämföra förhållandena med dem vid
deri-vering av en funktion f (x). Som bekant definieras
derivatan av † [x) som
/ (x ~f a x) — f[x)
lim
a X
operator i vårt speciella fall. Förutsatt, att integralen
existerar, utgör strömmen i med säkerhet en lösning,
som svarar mot en påtryckt emk = språngfunktionen.
Vi söka emellertid den speciella lösning, som erhålles,
om systemet befann sig i vila för t < 0, dvs. vi måste
fordra, att i — 0 för t < 0. En användning av
Jordans lemma,1 ett viktigt analytiskt hjälpmedel vid
behandlingen av komplexa integraler av den typ vi
stött på, visar nu, att i blir = 0 för t < 0, om
integrationsvägen väljes så, att. alla singulära punkter hos
integranden komma till vänster om densamma. I vårt
exempel äro dessa singulära punkter p — 0 samt
rötterna till R-\- pL-1—— 0, vilka båda ha
nega-p C
tiv realdel. Det räcker alltså i detta fall, liksom vid
alla dissipativa system med att välja c > 0.
I stället för Heaviside’s beteckning h (t) — H (p) • 1
skall jag använda den av van der Pol införda
h (it) = H (p)
Denna symboliska likhet innebär alltså, att man
genom insättning av operatorn H (p) i
Bromwich-Wagners integral får som resultat tidsfunktionen h (t).
Det är nu lätt att även behandla en emk e (t) av
godtycklig form, blott den kan skrivas som en
Bromwich-Wagners integral. Om vi ha
Det är emellertid endast undantagsvis som man vid
utförandet av en derivation är tvungen att gå
tillbaka till detta uttryck. Först och främst ha vi för
detsamma den förkortade beteckningen †’{x). Vidare
äro derivatorna av de enklaste funktionerna
beräknade en gång för alla och slutligen ha vi regler för
återförande av derivatan av en mera komplicerad
funktion på dessa enklare.
I operatorkalkylen ligga förhållandena fullkomligt
analogt. Vi ha först och främst ett förkortat
beteckningssätt för Bromwich-Wagners integral, vidare äro
de enklaste integralerna beräknade en gång för alla
— vi ha ett "operatorlexikon" — och slutligen finnas
regler för återförandet av mera komplicerade
integraler på de enklare — operatorsatserna.
Carson’s integral. Begränsade och modifierade
operatorer.
Bromwich-Wagners integral har ömvändningen
H(p)
V
= ]e-r"-h{t)-dt
Matematikerna beteckna denna likhet som en
Laplace-transformation av h (t) till
H(P)
V
I operator-
litteraturen brukar den kallas Carson’s integral.
Carson har i sin bekanta bok1 sökt bygga upp
operatorkalkylen enbart på densamma. Den har också
utgjort grunden till van der Pols många intressanta
arbeten på senare år.2 Det är naturligtvis skönt att
alldeles slippa från komplexa integraler, men det
förefaller mig dock som om endast
Bromwich-Wagners integral kunde lämna den fasta grunden till
alla delar av operatorkalkylen. Framför allt synes
den vara oundgänglig för en tillfredsställande
behandling av serieutvecklingarna.
Det uppges ibland som i viss mån likgiltigt, om
man utgår från Bromwich-Wagners eller från
Carson’s integral, emedan den ena alltid skulle betinga
den andra. Detta är emellertid en sanning med
modifikation, man kan endast visa att de båda gälla för
vissa definierade klasser av funktioner.
Jag har sökt avgränsa en för praktiskt bruk
lämpad sådan klass av operatorer med tillhörande tids-
1 J. R. Carson: "Electric Circuit Theory and the
Opera-tional Calculus", New Tork 1926.
2 Philos. Mag:. 1 (1929), p. 1153; 8 (1929), p. 861; 11
(1931), p. 368 ; 13 (1932), p. 537, de båda sistnämnda
gemensamt med K. F. Niessen ; Elektr. Nachr.-Techn. 11 (1934),
p. 233. Se även K. F. Niessen, Philos. Mag. 20 (1935),
p. 977. Sammanfattande framställningar finnas i Balth. van
der Pöl : "The Symbolic Calculus (with some Applications
to Radiotelegraphy)", Philips Separaat No 965, Eindhoven
1935 och P. Humbert: "Le Calcul Symbolique", Actual. Sci.
Ind. No 147, Paris 1934.
22
5 febr. 1938
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
