Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 22. 29 maj 1956 - Statistiska frågor i funktionssäkerhetsanalysen, av Rolf Moore
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
15 maj 1956
545
Utjämnas summapolygonen till en mjuk kurva
och deriveras därefter denna kurva grafiskt, får
man en approximation till fördelningens
frekvenskurva. Om frekvenskurvan går det
nämligen ofta lättare att säga vilken typ av
fördelning den representerar.
Man har vanligen att välja mellan
normalfördelning, poissonfördelning eller
exponentialfördel-ning, men även "logaritmiskt normala" och
"rektangulära" fördelningar förekommer. Kvalitativt
kan fördelningarna prövas genom att man ritar
upp dem på vanliga eller speciella rutpapper.
Sålunda blir normalfördelningens summapolygon i
genomsnitt en rät linje på
"normalfördelnings-papper", vilket även gäller om
poissonfördel-ningen framställd som funktion av r och ined
tillräckligt stort n {n ^ 10), jfr ekv. (3).
Exponentialfördelningen (såväl den kumulativa som
frekvenskurvan) ger räta linjer på enkelt
logaritmiskt papper, medan den rektangulära
fördelningens kumulativa kurva blir en rät lutande
linje på vanligt rutpapper. Logaritmiskt normala
fördelningar1-4 övergår till normalfördelning om
man avsätter log x i stället för x som abskissa
och ger då räta linjer på
normalfördelningspapperet. För att kunna avgöra, hur stor avvikelse
från de räta linjerna, som kan godtas, fordras
dock rätt stor vana, varför man ej bör fälla
avgörandet mellan t.ex. normalfördelning och
rektangulär fördelning utan att även rita upp
frekvenskurvorna i linjär skala.
Har man många värden till sitt förfogande i
provuttaget bör man dela in dem i
storleksklasser — minst ca 6 värden i de flesta klasserna —
av lika bredd och sätta av relativa antalet per
klass som ett histogram (approximerande
frekvenskurvan) eller som en summapolygon
(ap-proximerade kumulativa kurvan). I sådana
fall att man vid uppritningen av histogrammet
erhåller alltför få värden i vissa klasser, kan man
sammanslå intill varandra liggande sådana
klasser på så sätt att man i histogrammet utsätter
medeltalet av deras antal värden.
Konstruktionssättet för summapolygonen med hjälp av klasser
är följande: Om summan av antalet värden upp
t.o.m. en viss klass k kallas n, får man
summa-polygonens punkter genom att avsätta n som
funktion av klassnumret v.
När man väl har fått klart för sig vilken typ av
fördelning det aktuella uttaget troligen tillhör,
kan man noggrannare pröva hypotesen att
fördelningen är av denna typ med vissa statistiska
prov på siffermaterialet.
Uppskattning av statistiska parametrar
Vid uppskattning av statistiska parametrar hos en serie
med hjälp av mätvärden hos ett provuttag har man nytta
av en strängare distinktion mellan parametrar hos
fördelningen och parametrar hos provuttaget. De förra betecknas
nu konsekvent med grekiska och de senare med
motsvarande vanliga bokstäver. Det bör särskilt påpekas att olika
läroböcker använder olika och stundom inbördes motsatta
system för dessa beteckningar, varför försiktighet bör
iakttas vid avskrift av formler.
Om en enhetlig serie t.ex. en tillverkningsserie är
tillräckligt stor, kan medeltal och spridning hos mätvärdena
på alla dess individer anses representera medelvärde fi och
spridning (standardavvikelse) o hos fördelningen i en
oändlig tillverkningsserie, tillkommen under samma enhetliga
förhållanden. Även om hela den verkliga tillverkningsserien
är liten, hindrar intet att man tänker sig
tillverkningsprocessen fortsatt tillräckligt länge för att det sagda skall
gälla. Dessa fi och o (jämte andra i vissa fall
förekommande parametrar) kallas seriens parametrar eller mer
korrekt "fördelningens parametrar". Härifrån måste noga
skiljas motsvarande parametrar m och s som beräknas ur
de n mätvärdena hos det aktuella provuttaget (som i vissa
fall kan utgöras av hela den begränsade tillverkningen).
De "experimentella" värdena m och s är närmevärden16
på de sanna värdena fi och o och sägs utgöra
"uppskattningar" av dessa. Emellertid är m och s stokastiska
variabler, dvs. underkastade statistiska variationer, beroende på
vilka av seriens x-värden man råkat få med i det på måfå
gjorda uttaget. Tänker man sig att man tar ut provuttagets
individer en och en ur (den som oändlig tänkta)
tillverkningsserien råder ju vid varje "dragning" (uttag) en viss
sannolikhetsfördelning, för vilket värde som just den
erhållna individen har. Vart och ett av de olika värdena i
uttaget är sålunda också en stokastisk variabel med
samma sannolikhetsfördelning som hos serien. I uttrycket för
medelvärdet m ingår summan’av individernas värden.
Denna summa är vid stora n approximativt normalfördelad,
oberoende av vilken av de i praktiken förekommande
fördelningarna x har. Medelvärdet m hos uttaget är alltså vid
tillräckligt stora n-värden (t.ex. över 10) praktiskt taget
normalfördelat kring det sanna medelvärdet fi.
Man kan alltså med hjälp av en normalfördelningstabell
se ungefär hur stor sannolikheten är för att m antar ett
värde skilt med ett visst belopp från fi. För att kunna
utföra den härför nödvändiga normeringen av
fördelningen måste man dock först känna spridningen ofm} för
uttagets medelvärde. Denna fås1’2,* genom division av
spridningen g{x } hos variabeln x med|/n.
Vn
(29)
Eftersom vi ej känner o {x} för serien exakt utan blott
den ur provuttaget beräknade uppskattningen s få vi i
stället följande ungefärliga relation"’4, som för stora n
(över ca 10) kan anses gälla exakt.
o {m}i
\/n - 1 |/n
(30)
Enligt en normalfördelningstabell får man då t.ex. att det
endast är ca 5 °/o sannolikhet för att mediet m av n
mätvärden avviker med mer än 2 •dvs. 2-ö{m}från det
Vn
"sanna" medelvärdet fi. Den normerade variabeln £ är
nämligen här
1 =
m — fi _ m — fi
O [fi) s {a: }
]/n = ± 2
(31)
Normalfördelningens kumulativa tabell ger för
variabelvärdena — 2 och + 2 de avlästa värdena # (£) lika med
0,02275 och 0,97725. Summan av ytorna under de utanför
gränserna ±2 liggande "svansarna" av frekvenskurvan är
då 0,02275 + (1 - 0,97725) = 2 • 0,02275 = 0,0455, dvs. ca
5 o/o1’2’De gränser som sålunda med en viss sannolikhet p
omsluter m kallas konfidensgränser för viss
sannolikhetsnivå (eller risknivå) p.
Spridningen o {s } hos spridningarna s inom de olika
provuttagen kan uppskattas på ett liknande sätt1,16.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
