system, som dock på grund av författarens abstrakta språk fick föga betydelse för den musikteoretiska utvecklingen. En fysiker, Arthur von öt-tingen (1836—1920), trodde sig ha upptäckt en mot övertonsserien svarande undertonsserie och byggde på denna upp ett harmonisystem (Har-moniesystem in dualer Entwickelung, 1866, 2 uppl. som Das duale Harmo-niesystem, 1913), som blev den teoretiska grundvalen för Hugo Riemanns Skizze einer neuen Methode der Har-monielehre (1880, 2 uppl. som Hand-buch der Harmonielehre 1887, 8 uppl. 1920). Trots att undertonsserien bevisligen icke existerar har Riemann på denna hypotes lyckats skapa ett logiskt sammanhängande harmonisystem. Existensen av en undertonsserie har nämligen i själva verket ingen betydelse som fundament för en dualistisk harmoniuppfattning, eftersom mollklangens karaktär av underklang kan grundas på andra förutsättningar. — Ett steg längre i d. gick S. Karg-Elert i sin avhandling Polaris-tische Klang- und Tonalitätslehre (1931). Han betraktar nämligen ej blott mollklangen som durklangens polära motsats utan även mollton-arten som en omvändning av durtonarten (dominant i dur motsvaras av subdominant i moll och tvärtom). — Lit t.-. H. Grabner, Die Funktions-theorie H. Riemanns (1923), Sven E. Svensson, Harmonilära (1933) och Till förståelsen av dissonansbegreppet (i STM årg. 13 1931). Dubbel kontrapunkt kallas en polyfon tonsats, som är så beskaffad, att stämmorna kan växla läge i förhållande till varandra. Varje välskriven sats i enkel kontrapunkt kan bli d. k. i oktaven, om man endast undviker kvartparalleller (som blir kvintparalleller i omvändning). Utom d. k. i oktaven förekommer även d. k. i de-ciman och duodeciman. Eftersom vid omvändning i deciman terser blir oktaver och sexter blir kvinter kan med-rörelse knappast förekomma vid d. k. i deciman. Vid d. k. i duodeciman måste alla sextparalleller (som vid omvändning blir septimor) uteslutas. Däremot kan tersparalleller (vid ömvändningen decimparalleller) förekomma. De vid d. k. ändrade intervallförhållandena mellan stämmorna framgår av följande tabeller: d. k. i oktaven 12345678 87654321 d. k. i deciman 123456789 10 10 987654321 d. k. i duodeciman 123456789 10 11 12 12 11 10 987654321 Omkastning av tre kontrapunktiska stämmor kallas tredubbel k., av fyra fyrdubbel k. etc. Dubbeltunga (ty. Flatterzunge), spelmaner vid flöjt och trumpet (undantagsvis vid andra biåsinstrument), som tillgår så, att luftströmmen snabbt avbrytes av tungspetsen, vari- 9. — Musiklexikon. Drillar.