Euclidis Elementa / 12-13 (1844) Author: Euklides Translator: Per Reinhold Bråkenhielm Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Första Boken. XII Proposition. Problem - Första Boken. XIII Proposition. Theorem - Första Boken. XIV Proposition. Theorem

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

basen EC = FC, emedan de äro radier i samma cirkel;
så måste mellanliggande vinkeln EDC = FDC, c; h. s. b.


XIII Proposition. Theorem.

Då tvänne räta lineer skära hvarandra; äro de vinklar,
som ligga bredvid hvarandra, tillhopatagne lika stora
med tvänne räta vinklar.


Låt räta lineerna AB och CD skära hvarandra uti B;
så skall det bevisas, att vinklarne
ABC + ABD
äro lika stora med tvänne räta.

Bevis. Drag BE vinkelrät emot CD, a;
så att

EBD + EBC = tvänne räta vinklar.

Nu är vinkeln [E]BC = ABC + EBA;
så ### [att?]
E[BD] + EBC = ABC + EBA, b,
[då] man nämligen lägger vinkeln EBD
till på båda ställen.

a. 11 prop.
b. 2 axiom.
c. 1 axiom.

Likaledes är vinkeln ABD = EBA + EBD;
så att ABC + ABD = ABC + EBA + EBD, b,
då man nämligen lägger vinkeln ABC till på
båda ställen.

Nu äro således vinklarne
EBD + EBC
och vinklarne .. ABC + ABD lika stora med ett
och samma, nämligen med alla tre vinklarne
ABC + EBA + EBD;
således måste EBD + EBC = ABC + ABD, c.
Men ... EBD + EBC = tvänne räta vinklar;
derföre måste äfven
ABC + ABD = tvänne räta vinklar,
c; h. s. b.

Om AB sjelf vore vinkelrät mot CD; så är
af sig sjelft klart, att vinklarne ABC + ABD
vore tillsammantagne lika stora med tvänne
räta vinklar.


XIV Proposition. Theorem.

Om tvänne räta lineer äro på hvar sin
sida om en annan rät linea, och råka henne
uti en punkt, så att de vinklar, som ligga
bredvid hvarandra, äro tillsammantagne lika
stora med tvänne räta; så skola dessa båda
lineer vara uti en rät linea.


Låt räta lineerna BC, BD vara på hvar sin sida
om AB, och råka AB uti samma punkt B; och låt
vinklarne ABC och ABD vara tillhopa lika med
tvänne räta; så skall det bevisas, att CB och
BD äro uti en rät linea.

Bevis. Ty om icke så är, så låt BE vara uti rät
linea med CB a. Emedan då CBE är en rät
linea, så måste vinklarne ABC + ABE = tvänne räta b;
men det är antaget, att äfven vinklarne ABC + ABD = tvänne räta,
och derföre skulle vinklarne

        ABC + ABE = ABC + ABD, c;

a. 2 postul.
b. 13 prop.
c. 1 axiom.
d. 3 axiom.

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>