Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Analytisk plangeometri - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Analytisk plangeometri
Determinanten blir:
-1+A -2 1
1 —2 + Ä -1 =0
-1 -3 2+A
Rötterna äro:
= A2 = 2,A3 = — 2
«U = 3, «!• = 1. = 2 ; «,1 = = «28 = l;
ß31 = — 3,«8,= 1,«88=— 7
Lösningen blir:
yt = 3Qe* + C2e2x—3C3e’2x
y2 = C1ex + C2e2x + C3e-2x
y3 = 2C1e*+ C2e2-V— 7C3e’2x
Kap. 9. Analytisk plangeometri
i. Koordinatsystem och
transforma-tioner
Transformation av rätvinkliga
koordinatsystem i varandra. Det förutsättes, att
bägge koordinatsystemen ha samma rota?
tionsriktning, dvs. att den vridningsriktning
om 90°, som överför positiva x*axeln i
positiva y*axeln, är densamma för bägge
systemen. Med (x, y) betecknas de ur*
sprungliga, med (x’, y’) de nya koordina*
terna.
a) Parallellförskjutning av koordinatsy=
stemet. Om (x0, y0) äro koordinaterna för
origo i det nya systemet, så gäller:
x’ = x—x„; y’=y—y0
b) Vridning. Räknas vridningsvinkeln a
positiv i positiv led (dvs. den riktning,
positiva x*axeln behöver vridas 90° för
att övergå i positiva y*axeln), så bli träns*
formationsformlerna:
x’ = x eos a + y sina x = x’cosa—y sin a
y’ = ycosa—xsina y = x’ sin ct + y’ eos a
c) Samtidig parallellförskjutning och
vridning. Man kombinerar formlerna a)
och b).
övergång från rätvinkliga till snedvinkliga
koordinater. Om i det nya koordinatsyste*
met x’*axeln bildar vinkeln a och y’*axeln
vinkeln ß med x*axeln, så bli transforma*
tionsformlerna:
x = x’ eos a + y’ eos ß
y = x’ sin a + y’ sin ß
x sin (a—ß) =y eos ß—x sin ß
y’ sin (a—ß) = x sin a—y eos a
övergång från rätvinkliga koordinater till
polarkoordinater. Om r betecknar radius
vektor och <p argumentet, och polaraxeln
sammanfaller med positiva x*axeln, så
gälla transformationsformlerna:
r=V/x2-+y2, eos sin = —, tg
7 r r x
x = rcos9?, y = rsin<p
2. Punkten och räta linjen
Avståndet mellan två punkter. För avstån*
det l mellan punkterna (x^yj och (x,,y2)
gäller formeln:
/= l/(x2—Xj)2+ (y2 yj
Ytan av en triangel. Om triangelns hörn
ha koordinaterna (xlt yj, (x2, y2) och
(x3,y3), så är dess yta:
T=-
1
yi 1
x2y21
*3y31
=y [*iCk«—ys)+*2(y3—yi)+x3(yt—y2)]
(se determinanter s. 66).
För att t skall bli positiv, måste punk*
terna (x^), (x2,y2) och (x3, y3) följa på
varandra i positiv led, dvs. motsols.
Delning av en sträcka. Delas sträckan mel*
lan punkterna (x^ yt) och (y2,y2) i för*
ALLMÄNNA DELEN
9
113
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
