Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TELETEKNISK TEORI
där al ...... a» äro konstanter, bestämda av
nätets resistanser, induktanser och kapaci-
tanser samt f(t) en linjär funktion av de
exciterande strömmarna, spänningarna och
deras derivator. Dessa differentialekvatio-
ner kunna lösas med elementära metoder.
vilka emellertid vid komplicerade nät, var-
vid erhålles ekvationer av hög ordning,
eller då f(t) icke är en elementär funk-
tion, bli ganska besvärliga-
Lösningen till differentialekvationen blir
lika med en summa av två tidfunktioner,
vilkas frekvenser och dämpningskonstanter
äro bestämda av nätet, vilkas amplitu-
der bestämmas av värdet på funktionen
f(t) och dess derivator vid en viss tid-
punkt, t.ex. t=0. Denna tidfunktion som
således exponentiellt går mot noll då ti-
den t går mot oändligheten, representerar
ett övergångsförlopp. Den andra tidfunlc-
tionen i differentialekvationens lösning be-
ror av nätet och funktionen f(t) och re-
presenterar det insvängda tillståndet.
l den tekniskt mest betydelsefulla pro-
blemställningen antages impedansnätet
vara elektriskt dött fram till en viss tid-
punkt, t. ex. t=0, då strömmar och spän-
ningar, som bilda funktionen f(t) påtryc-
kas nätet. Nätets strömmar och spän-
ningar, vilka erhållas som lösningar till
differentialekvationerna, äro då noll fram
till t=0, varefter de kunna representeras
som summan av ett insvängnings- eller
övergångsförlopp och ett insvängt förlopp.
Om de påtryckta strömmarna och spän-
ningarna äro sinusformigt stationära, blir
även det insvängda förloppet sinusformigt
stationärt. Vid annan form på de påtryck-
ta strömmarna och spänningarna kunna
dessa representeras av Fourierserier eller
-integraler som en summa av ett oändligt
antal sinusformigt stationära förlopp.
En genväg till lösningen av differential-
ekvationerna är den s. k. operatorkalky-
len, vilken innebär en generalisering av
lösningsmetoden vid det sinusformigt sta-
tionära tillståndet. Vid detta gällde att
126
d . l
Ji- — ,(4) Jät= B-
l operatorkalkvlen sätter man helt all-
mänt d
FI p de= —
dvs. ersätter derivering med en multipli-
kation med operatorn p och integrering
med en division med densamma. Operatorn
p behandlas som en rent algebraisk stor-
het, varvid differentialekvationerna övergå
till algebraiska ekvationer, t. ex.
L(p)u=f(s)
där L(p) är ett polynom i p. Lösningen
kan skrivas i explicit form
— i(i)
« L(p)
och dess tolkning sker efter vissa regler.
Operatorkalkylen hade till en början
rent intuitiv karaktär, dvs. den saknade
matematisk grund. Numera har dock en
sådan erhållits genom den s. k. Laplace-
transformationen.
Laplacetransformering av en funktion
innebär att den multipliceras med e-»
samt integreras över t från noll till oänd-
ligheten. Härvid gäller bl. a.
JERNqupr ojmwsde
0
och motsvarande för integraler av funktio-
nen f(t)· Laplacetransformeras hela diffe-
rentialekvationen erhålles således, med
bortseende från begynnelsevillkoren (f(0))
I-(p)J«oue-»df=wa(t)e"»dt=F(p)
0
F(p)
0Jue pccit=——— L(p)
varur u erhålles genom den inversa trans-
formationen
eller
atjsd
1 (p)F HW
2-«»«» L(p)
a-—jØ
u=
där a är ett godtyckligt, positivt reellt tal.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
