Salmonsens konversationsleksikon / Anden Udgave / Bind VI: Demeter—Elektriske Sikringer / 154 (1915-1930) Table of Contents / Innehåll | << Previous | Next >>
	Project Runeberg | Catalog | Recent Changes | Donate | Comments? |

Full resolution (TIFF) - On this page / på denna sida - Differensrække (mat.), ogsaa kaldet aritmetisk Række ell. aritmetisk Progression - Differentialregning, et Afsnit af den højere Matematik, der omhandler Funktionerne og deres Differentialkvotienter - Differentialskrue (bedre Differensskrue), en Kombination af to Skruer

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>

Below is the raw OCR text from the above scanned image. Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan. Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!

This page has been proofread at least once. (diff) (history)
Denna sida har korrekturlästs minst en gång. (skillnad) (historik)

Differentialregning, et Afsnit af den højere
Matematik, der omhandler Funktionerne og
deres Differentialkvotienter. Er y en reel
Funktion af den reelle Variable x, og betegner Δx
og Δy smaa samtidige Tilvækster til x og y,
menes med Differentialkvotienten

dy	af y m. H. t. x den Grænseværdi, hvortil
dx

Δy	nærmer sig, naar Δx aftager til 0. Det
Δx

forudsættes, at den nævnte Grænseværdi er
uafhængig af den Maade, hvorpaa Δx konvergerer
mod 0; dette gælder ved vore elementære
Funktioner, men der er andre Funktioner, som for
nogle ell. uendelig mange Værdier af x ell.
inden for hele Intervaller af x ikke har nogen
Differentialkvotient. Er u en Funktion af en
kompleks Variabel z = x + iy, og betegner Δu
og Δz=Δx+iΔy samtidige Tilvækster til u og z,
forstaas ved Differentialkvotienten

Grænseværdien af	Δu	, naar Δz konvergerer mod 0,
	Δz

forudsat at denne Grænseværdi er uafhængig af,
hvorledes Δx og Δy samtidig nærmer sig til 0,
noget, der gælder for de mest undersøgte
Klasser af Funktioner. At danne
Differentialkvotienten kaldes at differentiere

Funktionen; ved Differentiation af	dy	, der selv er
	dx

en Funktion af x, faas Differentialkvotienten af

2. Orden	d2y	, af denne atter	d3y	o. s. v.
	dx2		dx3

Lagrange betegnede Differentialkvotienterne af en
Funktion f (x) ved f’ (x), f" (x) o. s. v. og
kaldte dem de afledede ell. deriverede
Funktioner; hyppig bruges Betegnelser
y’, y" o. s. v. Differentialkvotienternes store
Bet. kan ses af et Par Anvendelser, netop de
samme, der gav Stødet til D.’s Opfindelse. I
analytisk Geometri bestemmer de Retningen af
en Kurves Tangent. Vælger man paa Kurven to

Punkter (x,y) og (x+Δx, y+Δy), er	Δy
	Δx

Tangens af den Vinkel, som Sekanten gennem de
to Punkter danner med Abscisseaksen; falder
de to Punkter sammen, idet Δy og Δx aftager
til 0, bliver Sekanten Kurvens Tangent i (x, y),
og dennes Vinkel med Abscisseaksen har altsaa

sin Tangens =	dy	, der jo er Grænseværdien for
	dx

Δy	. Naar et Punkt bevæger sig paa en
Δx

vilkaarlig Maade, saaledes at dets i Tiden t
gennemløbne Vej kaldes x, vil man som et naturligt
Maal for dets Hastighed paa et vist Tidspunkt

vælge Forholdet	Δx	, hvor Δx er den Vej, som
	Δt

Punktet i sin fortsatte Bevægelse gennemløber
i den meget lille Tid Δt. En bestemt Definition
paa Hastigheden faar man da i

Bevægelseslæren ved at sætte den =	dx	; Accelerationen
	dt

bliver saa =	d2x	(se Bevægelse og
	dt2

Acceleration). Ved y’s Differential

svarende til Tilvæksten Δx til x forstaas	dy	. Δx;
	dx

det bruges alm. i St f. y’s virkelige Tilvækst,
hvorfra det, naar Δx er tilstrækkelig lille, kun
afviger ved Størrelser, der er forsvindende i
Sammenligning med dem begge. Er y en
Funktion af fl. Variable, f. Eks. = f (z, u, v), kan
man danne de partielle

Differentialkvotienter	dy	,	dy	,	dy	ved at differentiere
	dz		du		dv

m. H. t. een af de Variable, medens de andre
betragtes som konstante; Funktionens

Differential	dy	Δz	+	dy	Δu	+	dy	Δvhar samme
	dz			du			dv

Egenskab her som ved Funktioner af een Variabel.
Ved fortsat Differentiation dannes partielle
Differentialkvotienter af højere Orden som

d2y	,	d3y	o. s. v.
dz2		dzdv2

D. ’s Hovedindhold er Læren om Dannelsen af
Funktioners Differentialkvotienter og af deres
Rækkeudviklinger (Taylor’s og Maclaurin’s
Formler) med de derpaa støttede Bestemmelser
af Maksima og Minima samt af ubestemte
Størrelsers sande Værdier. De talrige Anvendelser
paa andre Grene af Matematikken, særlig
Geometri og Mekanik, behandles under disse. -
Medens allerede i 1. Halvdel af 17. Aarh. fl.
Matematikere, isærlig Fermat, havde dannet
Differentialkvotienter til Brug i enkelte
Opgaver, fik D. først sin Algoritme i Aarh.’s 2.
Halvdel ved Leibniz og Newton. Disses
Undersøgelser falder vel omtr. samtidig og kan godt
tænkes i Beg. at have tæret uafhængige af
hinanden; men Leibniz’ Offentliggørelse (i
Acta eruditorum, 1684) kom før Newton’s (i
hans Principia, 1687), og det er Leibniz’
Betegnelser, der endnu bruges, medens Newton’s
Tegn x0 og y0 for de Variables Tilvækster, hvor
x og y kaldes Fluksioner, saavel som Navnet
Fluksionsregning for længst er opgivne.
Derimod har Newton Fortjenesten af D.’s
Sammenknytning med Integralregningen. Spørgsmaalet
om de to berømte Matematikeres Stilling til
D.’s Opfindelse fremkaldte i Beg. af 18. Aarh. en
bitter Strid. Til D.’s videre Udvikling er
knyttet en Række store mat. Navne, saasom
Bernoulli, Euler, Taylor, Maclaurin. Lagrange
definerede, for at undgaa uendelig smaa Størrelser,
de afledede Funktioner ved Hjælp af
Koefficienterne i Funktionernes Rækkeudviklinger, som
han dannede ved forsk. Kunstgreb, men denne
Fremgangsmaade blev ikke adopteret af de
senere Matematikere. Som et af de nyeste
omfattende Værker over D. kan nævnes Jordan’s
Cours d’Analyse de l’école polytechnique (2.
Udg. Paris 1893-96).
Chr. C.

Differentialskrue (bedre
Differensskrue), en Kombination af to Skruer. Det
Tryk, man kan udøve ved en Skrue, og det
Stykke, den gaar frem ved en Omdrejning,
beror paa Stigningen af Skruegangen, som af
praktiske Grunde ikke kan gøres alt for lille.
Man benytter derfor Differensvirkningen mellem
to med forsk. Stigninger skaarne Skruer, der
har fælles Spindel, idet man gør Forskellen
mellem Stigningerne meget lille. En af de

<< prev. page << föreg. sida <<     >> nästa sida >> next page >>