Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
98
TEKNISK TIDSKRIFT
20 SePt. 1930
För att dessa ekvationer skola kunna lösas, är det
nödvändigt att känna funktionen Pf[s^, dvs. det sätt,
på vilket den bromsande kraften förändras med läget
av kranen (fig. 2). Lösningen måste sålunda sökas
lör varje funktion av P. I många av de i praktiken
förekommande fallen är P en linjär funktion av s,
(fig. 3), antingen med eller utan ett visst
begynnelsevärde, och under ett dylikt antagande skola följande
däst den ena av de oberoende variablerna och som
lyder
d4, si , \ y lm’i k~\d? sx i g k : g Q
-+
I i\i
k ~|i
ät*
k
m,
2 p och
Fig. 2. Obestämd funktion Pf(si) Fig. 3. Linjär funktion av formen
mellan kraft och väg. ksi + Q mellan kraft och väg.
undersökningar av bromsningsförhållandena
förmedelst ovanstående formler verkställas.
A. Kranen bromsas genom dels en konstant och dels
en mot vägen proportionell kraft.
a) Funktionen mellan väg och tid.
I detta fall har bromskraften ett begynnnelsevärde,
som antages vara Q kg och ökar med en annan kraft,
som är proportionell mot bromsvägens längd ocli i
varje ögonblick uppgår till k • s1 kg, så att totala
bromskraften är Q -f- k • sr k skall häri hava det
värde, som motsvarar en vägsträcka av 1 m.
Förestående ekvationer erhålla då följande
utseende
d2 s
mx dJ = m2 g tg (p — Q — kst ...... (4)
d2 s2
= — rn2g -tgcp.................. (5)
och slutligen
1 / d2 s \
^^rV+^ + H......(6)
Genom att omforma ekv. (4_) och (5) och att
insätta värdet –– — i st. f. tg cp\ vilket vid små
vinklar kan tillåtas, erhåller man följande tvenne
simultana differentialekvationer för bestämmandet av
rörelseförhållandena
d2 -S-) __ mz s2 — st Q kst
dt2 titi l mx
och
32 aS2 Sl /si
dt2~-g l ...............(8)
I och för lösning av dessa upplöses först ekv. (7)
efter s2, varvid erhålles
m-i l [d2 Si Q ks, \
S> = nig(d/ + m1+^)+Si...... «
Denna ekvation differentieras därefter tvenne
gånger efter t och antager därigenom formen
d2 s2 m± l idi s± k d2 d2 st
dt* = m2 g \HF + % ’ dt* ) + dt’ ’ > ’
Insä.ttes så ekv. (9) och (10) i ekv. (8), så får man
slutligen en differentialekvation, som innehåller en-
, . . - + 1 +
dt4 L l \m-x 1 m
Inför man nu beteckningarna
sp \
I \m1 1
g k 2
-— = q2
lmx
eller om man vill räkna med resp. vikter i st. f.
massorna
och
a 92 k
q2 =
Gi
(12)
lGt ""
så får ekv. (11) följande utseende
di äj
+ 2 p
d2
, 2 9
+ q2 «i = — T
Q
mt
(13)
(14)
dt1 ’ r dt2 ’ 1 ri l
Den föreliggande differentialekvationen är således
icke homogen. För att kunna lösa densamma,
antages i första hand, att högra membrum är noll. Den
allmänna lösningen för den på så sätt homogena
ekvationen är som bekant
Sj = 2 A ef1*.................. (15)
där A äro koefficienter, som bestämmas på grund
av gränsbetingelserna.
ju erhålles ur ekvationen /i1 -f- 2 p ju2 -f~ q2 — 0
som har följande rötter
+ \
f* i
Hl r- — \ p - S
P-p> 3= + Sj-p-
!H = —
-\jp2
(16)
och — p — \/p2 — q2 — —y2
P — — T
Dessa rötter äro samtliga imaginära, enär q2
alltid är positiv. Substitueras här
— V + \’P2 — Q2 = — i
och således
ß2 — p — \/p2 — q2 samt y2 = p -f- \Jp2 — q2 (17)
så har man
m = 2 = —+«>5J«4 = —«>; (i8)
Dessa värden insättas i ekv. (15), vilken då
antager formen
s1 = A1eiß*+A2e-iß*+Aseiy*-f A^-W (19)
Som bekant är emellertid
eißt __ cos ßf i sjn ßi
och e~*ß* = eos ßt — i sin ßt varför
äj = Ax (eos ßt -j- i sin ßt) -f A2 (eos ßt — i sin ßt)
-f–|- A3 (eos yt 4" i sin yt) -f- At (eos yt — i sin yt).
Detta är sålunda, sedan koefficienternas värde
bestämts, lösningen av den homogena
differentialekvationen. Den icke homogenas lösning erhålles
i detta fall, då störningsfunktionen utgöres av en
9
konstant faktor, genom att tillfoga värdet •—
l
så att den fullständiga lösningen
. _Q , 1 = _ Q
mx q2 k’’
efter en del omplaceringar blir
st = (At -|- A2) eos ßt -+- i (At — A2) sin ßt -|-
(A3 + At) eos yt + i (A3 — At) sin yt ■
k
• • (20)
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
