Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
21 sept. 1935
MEKANIK
83
9
7
9
7
9
7
föra samtidigt värdet på dm ur ekv. (1), varvid vi
erhålla
9P_dc,
’ dz~ dt’
3 p dcr cj
dr dt r
c>P __ dcu c,
r3 cp dt
dZ
dZ
dm
dR
dm
dü
dm
(4)
dZ _ dR _ dU _
erhålla vi slutligen
9r —
9 dp cl c.
7 dz dt’
9 dp dcr c2
7 dr dt r ’
9 3 p d Cu i cr • c, dt ’ r
7 r-dcp
vilka vi kalla vätskans rörelseekvationer. De äro
fullkomligt oberoende av de förändringar vätskans
sp. vikt undergår och gälla således för alla slags
vätskor, de må nu vara ångor, gaser eller droppbara
vätskor. Men enär vi i det följande uteslutande hava
att göra med vätskor av det sistnämnda slaget antaga
vi redan nu
y = konst. ..................... (7)
oberoende av det på vätskan verkande trycket. Ekv.
(7) kan därför betraktas såsom ett uttryck för
vätskans tillståndsförändring.
Högra membrum i den tredje likheten av ekv. (6)
Öj t
kunna vi ännu skriva på annat sätt, ty med cr = ——
d t
övergår detsamma uti
dcu , cr-cu= dcu cu 1 d(rcu)
dt * r dt’rdt~~r dt
varmed vi erhålla rörelseekvationerna under formen
g dp = dcz
y 3 z dt’
g dp _dcr cj
y dr dt r ’
g dp _ d(rcu)
y 3 cp dt
Dessa likheter kunna vi ytterligare omforma, i det
vi uttrycka de ingående accelerationerna genom
par-tialderivator enligt formeln
dcz _ 3 cz 3cz dr 3 cz dep 3cz d s
dt = dt ’ dr
och samtidigt observera ekv. (2). Yi erhålla härvid
q* —
Vu-r-
(8)
dcz
dt
dcr
lit
d{r<)=
’ dt
~ dt
~ 3 t + r
r+c’
dc,
dr
3 c
dr i
3 (r cu)
3 r
3 cz
3 cp
3 cr
c*
r
Cu__.
r 3 cp
cu 2 Cr cu)
i cp
, 3 c,
1 3 ø
3 (r cu)
3 z
(9)
0
w_ dR , dU ,
Har representera -—, — och—— de av de yttre
dm dm dm
krafternas komponenter orsakade accelerationerna i
komponenternas riktningar, och med beteckningarna
(5)
Yid det i tekniken som ett viktigt specialfall
betecknade fortfarighetstillståndet förblir
rörelsetillståndet i en och samma punkt oförändrat, så att p,
cr, cu och c. därstädes äro oberoende av tidén. Detta
är möjligt endast om partiella derivatorna av dessa
storheter i avseende å tiden försvinner, dvs.
dp
dt i
3cJ_3cr_3cK_ ............ (10)
dt dt ;dt
En strömning, som motsvarar dessa
villkorsekvationer, kallas stationär, och dess grundlikheter äro
tydligen
9 dp Cu dC„ , dC,
r ’Jz = Cr ’dr "t r –H c,—- dep 1 dz
g dp d Cr , Cu d Cr dCr cK2 (11)
7 - = cr dr äF + r dcp 1 * dz r
9_ dp 2(rcu) i C ti Hrcu) | r 3(rcu)
7 t ~ cr " d Cp dr r " dep "t’ dz
Strömningen är fullt bestämd endast om vi i varje
punkt av densamma och i varje ögonblick känna
den absoluta hastigheten genom dess komponenter
c„ cr och cu, det på vätskan verkande trycket och
vätskans sp. vikt såsom funktioner av koordinaterna
och tiden. Förutom de tre ekv. (6) och ekv. (7)
erfordras därför ännu en femte, av de nämnda
likheterna oberoende ekvation, och denna erhålla vi genom
att undersöka de genom det för tillfället fasthållna
volymelementets begränsningsytor under tiden dt
strömmande vätskemängderna, varvid förutsättes att
hastigheterna kontinuerligt ändras, medan sp. vikten
i enlighet med ekv. (7) förblir konstant.
Genom elementets mot axeln vättande cylinderyta
med arean rdcp • dz strömmar i tiden dt massan
v 7
— cr r d cp d z dt, medan samtidigt massan — (cr -†-
3 c \
-)- — ■ dr J (r d r) d cp ■ d z ■ dt strömmar ut genom
den yttre cylinderytan. Den i radiens riktning i
tiden dt strömmande massan uppvisar således ett
v 3 (r c )
överskott–-—-dm-drdzdt i förhållande till den
g dr r
inströmmande vätskemassan.
På alldeles liknande sätt erhålles för den genom
de båda i radialplan stående begränsningsytorna
strömmande vätskemassan ett utströmmande
massöverskott
7
9 rdcp
medan överskottet i Z-axelns riktning uppgår till
7 9 (r c»),
dr dzdcpdt
g dz
dr dz dep dt.
På grund av ekv. (7) måste summan av alla dessa
massöverskott vara = 0, varav följer, efter förkort-
ning med den gemensamma faktorn — dr dep dzdt >0
3(rcr;
Hrcu)
dr
■■dy
dz
= 0,
(12)
varmed vi erhållit den erforderliga femte likheten,
som kallas vätskans kontinuitetsekvation.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
