Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
21 sept. 1935
heten (22) ingående koordinaterna dr och dz tillhöra
både relativa banar» och vattnets absoluta väg. Yi
kunna därför säga, att ekv. (22) är skovelns
differentialekvation.
Men den erhållna likheten utsäger även, att
differentialerna dz, dr och dl stå vinkelrätt mot den
resulterande accelerationen, dvs. att denna står
vinkelrätt mot relativa banan och därmed mot själva
skovel-ytan.
dp
För tvådimensional strömning med ^— = 0 och
c cp
med beaktande av att vid vertikalaxliga turbiner qi
ökas med tyngdkraftens acceleration g kan den
stationära vattenströmningens hydrodynamiska
grundekvationer skrivas under formen
MEKANIK 85
För de i ekv. (23) ingående partiella derivatorna
qr —
gdp _ y 3 z dr 1 3 cz dcz dz = dt
gdp __ „ i 3 cr cu2
y dr cr ––- 3 r Cz –-: 3 z r
dcr cu 2
dt r ;
r-qu = r 2[rcu) r dr , 3(rc«) a
dt
De härur framgående värdena på qz, qr och qu
skola vi nu införa i ekv. (16) och (19), för vilket
ändamål vi närmast skriva
3 p
Jz
dcz g
qr =
1u =
clt
dcr ^ cj
dt r
1 d(rcu)
r. dt
3 p
g
y dr’
d cu i cu
dr
varmed nämnda ekvationer tillsammans giva
dcz
dt
■ dz — g dz -1—
d z dt r
, q 3 p , d c,, cu dr ,
■4–^-dr -f-^rdffl-f–^—rdcp = cod(r cu).
’ y dr 1 dt dt r K "
Denna likhet kan, med beaktande av ekv. (2), även
skrivas
czdcz-j- crdcr-{-cudcu — gdz-\-
varest uttrycket inom parentesen tydligen är
totaldifferentialen dp.
Vattnets totala hastighet är
c^c^+c^ + c,»............... (24)
som genom differentiering övergår uti
c dc = cz dc. -)- cr dcr cu dcu
varmed vi slutligen erhålla
— dp-\-cdc — gdz — cod(rcu)....... (25)
7
Denna likhet utsäger att tillväxten <x>rcu längs en
bankurva är lika med tillväxten av uttrycket
C2 Q
_|-~p—gz. Under förutsättning av att
vattenströmningens samtliga partiklar hava samma
begyn-nelsetillstånd, måste därför
ni
K,
(26)
2 ’ y
varest K är en för alla begynnelsepunkter gemen
sam konstant.
d v 3 p
-^och ^ erhålla vi nu genom partiell differentiering
dz år
av ekv. (26) uttrycken
= c ^
y d z z d z ’3 z
g 3 p c 3c
3 c
■ l )/ - a
3 cr
°rJr
3 z
3cu
3 r
3 (r cu)
3 z
3 (r cu)
co
co —
3 r
3 (r cu)
3 z ’
3 (r cu)
3 p
y 3 t "!3 r
som vi införa i de två första likheterna av (23),
varvid dessa efter hyfsning övergå uti,
q, = — cr —3 M — (C"
\dz dr] \r
Id cr 3 c.\ I c,.
qr = c21. — — I —I––co
3 r
(23)
z\d z dr) \ r
medan den tredje likheten förblir oförändrad.
3 c 3 c
Uttrycket . -— _ 2 har en alldeles särskild be-
3 z dr
tydelse, i det att detsamma angiver
vinkelhastigheten för vattenelementets rotation kring tangenten
till en parallellcirkel, resp. kring en normal mot
rZ-planet. Man kallar därför ifrågavarande uttryck
virvelkomponent eller närmare bestämt, vattnets
ringvirvel, fig. 8.
Denna ringvirvelkomponent ingår icke i
ekvationen för rotationsaccelerationen qu och har därför
intet inflytande på energiomsättningen. Däremot
har ringvirveln en viss betydelse för
randbegränsningen. Vid virvelfri strömning till och från
skovelrummet försvinner virvelkomponenten, och de för
strömningen gällande accelerationerna äro:
1r = — —
Qu =
Cu
r
Cu
r
crd(rcu
d(rcu)
\r / d z
\3(r Cu)
— CO )
dr ’
cz 3 (r cu
(27)
rdr r 3z
Vi återgå nu till ekv. (22), som angavs som
sko-velytans differentialekvation, och få därur
dX _ qr _ 3X
3 r
qu
(28)
Fig. 8.
Fig. 9.
(29
vilka tillsammans med de två första likheterna i
ekv. (27) giva
3* 3 (re.)
dr dr
d x ’ d]r cj ’ ...........
dz dz
varav man kan draga den viktiga slutsatsen, att
rcu måste vara en funktion av X, dvs.
r cu = † (Z)................... (30)
Sist erhållna likhet är en av de viktigaste slut-
qr
<h
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
