Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
TekniskTidskrift
Ex. 11. Sök j}-bilden till e~at- E (t) om V (fi) 4- E (t)!
00 co
V(p) = p • ; E(r) - e~PT■ dr V(p + a) = (p + a) ■ J e"
-at
- EM ■ e-f ■ dr •’’ - ■ V(p + n) e~at ■ E (i)
w p 4- a
Steg för steg kunna de vanliga operatorformlerna
avledas i sin nya form genom att utgå från (2).
Speciellt kan man uppställa en del nyttiga integralregler:
Ex. 12. Sök p-bilden till ’’-"om V(p) ; E (t)!
00 00 V(d)
V(p) = p ■ J E (t) ■ e pr ■ dr. Härav beräknas p • J u ■
o p P
OC 00 oo oo
.dp=p■ jdp$e-P’ ■ E( x) -dr = p ■ $E(z) ■ dr • J"e pz • dp
po o V
om E (t) sådan, att integralen blir likformigt konvergent.
Med Be p > O fås
°?V(p) , °?E(r) , . E (t)
JJ • J „ -dp = p-S y -e P’-dr . w
pl’ o T ’
^ sin t
Ex. 13. Sök p-bilden till funktionen J . dr’. (Inte-
o r
gralsinus eller Si, spelar jämte besläktade
integraltri-gonometriska funktioner stor roll i strålningsteorien).
V
1 +p2
2 ’ sin t och alltså, enligt föregående exempel,
dp . sin t In \ . sin t
r,. t3
^’-’-STSi+ß.-B! —
Ill 11
+
3 p*
_ U- ~1 — — \
p4 + Je "7
0 p°
1
P 2>2
dp — — J v dp =
00 1 + ~~
p2
= 2— arc tg 7).
Man kan också visa, att — log p2 -f- 1 ’ Cl t dvs.
integralcosinus Ci 1 — — J C° T ■ dr.
Dock blir det i allmänhet svårt att känna igen
potensserierna även om de framställa enkla
funktioner.
2. Översättning av symboliska uttryck till sökta
funktioner.
Av härledningen till (1) följer, när V [p) ’ E (t), att
x + yoo
1 (-V(p) ept
x — joo
x + jcc
1 r ept
l®=2„r)m’ v ■d" (4)
X - j 00
Detta samband visar, huru nian kan komma över
från en ^-funktion, som man funnit, till motsvarande
/-funktion för t > 0. Huru man än tänker sig
integrationsvägen utformad, gäller alltid, att x > O,
vilket är liktydigt med att längs hela
integrations-vägen (där bidrag erhålles) Be p > 0. Om p behöver
intet annat förutsättas, än att det är ett komplext
tal med positiv reell del. Transformationen (4) efter
Wagner, Bromwich1- 2 kan likaväl som (2) läggas
till grund för räkningen. Emedan (4) har allmän
betydelse och ej iir inskränkt till strömmen, kan man
skriva alternativt (reell versus komplex integral)1
F(p) = p. J E (r) • epr ■ dr
E(t)
1
2 nj
x+joo
oVt
V (fi). p - dp
joo
med förut angivna förutsättningar beträffande t och
x, dvs. ett system integralekvationer, som äro
varit
andras lösningar, ungefär som v = j’ u d u, ti —
o
1 dv
~ v/2 o \Jv’
Insättes första ekvationen i den andra, får man för
,ja>(t—t) .
1 +00
: O identiteten E (t) — - ■ f dw • f E (t) ■ eJ
2 71 _’on ■
– — arc tgp-^-j–-dr eller — — arc tgp ’Sif.
Som jämförelse kan man gå fram enligt
operatormetoden och utveckla arctgp i formellt giltig
potens-serie, n. b. om man kände resultatet, eller också starta
från Si-serien, då
dr, en form för den i äldre framställningar
dominerande :’Fourier’s dubbelintegral" (med p =
jco)-1 )en "spektrala intensiteten" hos E (t) är därför
1 00 _•
j’ e ,<OT ■ E (t) • dr . Gränserna O och 00 kunna
o
utbytas mot — 00 och -(- 00, mot a och b osv.
alltefter funktionens E (t) existensområde. ... (6).
Jfr härtill ex. 18 och 22.
Olika integrationsvägar, som man kan välja på,
visas i fig. 4. A (x —>-0) passar, om V [p) är
reguljär i högra halvplanet, och användes därför t. e.
vid beräkning av utgångsintegralen, för vilken ju
V (fi) = 1, eller vid framställning av det s. k.
ex-pansionsteoremet, då man gjort det förenklande
antagandet, att alla rötter till V (p) = 00 ha negativ
reell del förutom att V (p) är entydig (Breisig).2
Vägarna B (x ändlig) och C (x ->-00) komma båda
i fråga, då singulariteter förekomma i högra
halvplanet.
Pleijel3 utgår från vägen C och sätter E (t) =
1
oPt
lisen att
O, när p
x ± j oc.
Då x visser-
— .• I’V(fi)- -dp. För att denna väg skall
2 71 ] " 1 p
■ *
ge samma resultat som den av många författare
använda vägen B, fordras, dels att V (p) är reguljär
inom det streckade segmentet i fig. 4, dels att intet
tillskott erhålles från halvcirkelns överskjutande
ändar (mellan A och B, där Be p är ändlig) eller
väsent-V(p)
V
ligen tages ändligt men likafullt tillräckligt stort,
för att singulariteterna skola komma till vänster ■—
n. b. när detta är möjligt — kan man därför efter
behag taga vägen B eller C, när funktionen V (p)
växer långsammare än p i oändligheten. Härigenom
definieras en viss klass p-funktioner, till vilken vi
strax återkomma.
Ex. 14. När V (p) — där g och h äro ra-
h (p) ’
tionella funktioner av p, är det utan vidare möjligt att
taga den ena eller andra integrationsvägen B eller G
utan att därför ändra resultatet, såvida g ej är av högre
gradtal än h.
10°
6 juni 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
