Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
e’
I ViP)
pt
d V = ,
^ 71
| V (R ■ e’v)
e
K eos ipt (j ■ It sin if • t
V„
d(p
1
2n
<p
c
To
■■ lf(t)l
/V/ ändlig saint
jVj.
R eos i/ • t
I (f
om, då R -* oo
eos (p > 0 för t < 0
eos cp < 0 t > 0
Specialisera vi L till integrationsvägen B enligt
fig. 5. dvs. en halvcirkel i vänstra halvplanet med
/■pj = R oo är därför
1 ept
jV(p). ■_- • dp
0
n]
V
för t> 0
Pleijel3 anger, att V (p) också kan tillåtas växa
asymptotiskt, men tillväxten måste ske långsammare
än linjärt med p t. e. som \J p. När V [p) tillhör
denna funktionsklass, kan man därför enligt nämnde
auktor komplettera integrationsvägen C med en
oändligt utsträckt halvcirkel i vänstra halvplanet
och därefter sätta
01 ySr(p).e*’.dp
2 711 f>
v
(4«)
så att hela ;i-planet medtages.
Ex. 15. Vid problem beträffande de viktigaste slutna
svängningskretsarna erhållas entydiga jj-funktioner, vilka
i oändligheten växa långsammare än linjärt med p. Röt-
terna till V (p) — oo äro enkelrötter ocli av ändligt
antal. V (0) är ändligt. På grund av entydigheten
behöver man ej ta hänsyn till förgreningspunkter, utan
man summerar helt enkelt residue från polerna.* Antag,
att V(p) = samt att h (pv) = O (v = 1, 2, ...») så
blir därför för £ > O (jfr fig. 6).
ü (Pr
W h (o) +
Y .9 l P r
L pv-h’(i
(Pr)
■ fPr’
Fig. 4-6.
I)et är alltid en fördel, när man kan komplettera
en öppen integrationsväg till en sluten. Vid entydiga
funktioner, som sakna väsentliga singulariteter
(oändligt mångfaldiga poler), kan man sålunda vid sluten
integrationsväg skriva upp summa residue och
därmed expansionsteoremet i sin välkända elementära
form.
I ett allmännare fall fås längs en cirkelbåge med
p — O som medelpunkt
vilket ju är expansionsteoremet i sin elementära form
(det är icke nödvändigt att rötternas reella del är
negativ för bevisets giltighet).2
Ex. 16. I ex. 20 finner man bl. a. en p-bild —
\/p2 + 1
. log(p + s]p2 + 1). Sök motsvarande funktion av x\
2Mittrycket växer i oändligheten som log p, dvs.
långsammare än p, och man kan därför integrera runt hela
p-planet. Förgreningspunkterna äro (utom p = oo)
p = ± j. Planet uppskäres med ett "yttre" snitt enl.
fig. 7. Förgreningspunkterna ge här ingen residue, och
(4 a) förenklas därför till
+ ; oo
.’/ (•«) = 0 ir ([iog (P + vfø» + i) +
2 JtJ ) \]p* + 1
+i
-100
1
pf’x
-fiog^-v/^+DJ-rfj). . ,
2 n.i J yj,a + i
—i
■ I log [p + \!p’ + 1) + log (p - \jp* + 1)] • dp =
;°ocosh/;x oo eos px n
= J ,7= . ’ àp = J y 2 • dp = - 1. (ar)
j \p2 +1 i V^2 — 1 1
där Yo (x) är Bessels funktion av andra slaget och
ordningen noll.
På samma sätt kan man med ett "inre" snitt
överföra den andra bilden , Æ= till J0 (æ) eller nollfunk-
s/p’ + 1
tionen av första slaget.
I det senare fallet kan formell serieutveckling i en-
Vp^TF
Fig. 7 och 8.
kelhet konkurrera med den nyss nämnda metoden. Man
har ju
v = O l’=0
Ex. 17. I ex. 21 fordras, att man skall tolka en bild
P\
p.e
Här växer i>uttrycket så snabbt i oändligheten, att
man ej kan komplettera integrationsvägen (i vilket fall
* Vid ledning-ar fås rotmärken från Z och O, alltså ej
entydiga funktioner, och dessutom oändligt många rötter.
Jfr sid. 432—455.
6 juni 1936
103
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
