Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
funktionen ju skulle bli identiskt lika med noll).
Följaktligen gäller ej (4 a), utan vi måste direkt beräkna
+Jæ „>
1 / p
y (x) — . ■ epx ■ t 2 • dp. Integranden är reguljär,
2jc:) J
-joo
och vi välja som integrationsväg en rät linje strax
till höger om imaginära axeln enligt fig. 8, så att
+ 00 , ca ,
1 r ■ -v i c-v
)/ (j) = . • eipx - c 2 ■ dp = ■ \ e 2 ■ eospx ■ dp =
2 Jt ’ TT !
V/2 jt
(den definita integralen beräknas genom derivation map.
parametern x). Formell serieutveckling ligger här icke
så nära till hands.
3. Lösning av differentialekvationer.
För att jämföra de olika metodernas tillämpning
på detta område genomgås med fördel konkreta
exempel.
Problem beträffande svängningskretsar föra som
bekant i de för praktiken mest betydande fallen till
ordinära och linjära differentialekvationer med
konstanta koefficienter.
Ex. 18. En sinusformig emk inverkar på en
svängningskrets med konstant induktans, kapacitet och
motstånd. Sök strömmen ("svängningsteoriens, speciellt
radiomottagningens grundproblem")!
7 dl _ _ jl-dt „ . ^ ^ R
L ■ – + R.I+ J =EB sm6>it. Sätt
E„
I" + 2 fi ■ 7’ + w22 ■ I = w,2
w,i
R 1
= ß I. C
eos Wi †.
co22
Med någon av de "klassiska metoderna" kan man
finna den fullständiga eller "matematiska" lösningen,
nämligen
I (t) = I* (/) = K° . [ e~ßt. (Cl. cosvW — ß ■t+C, •
CO\ 1j L
••«’
Hur blir det nu, om man vill tillämpa en "symbolisk
metod" för att få fram lösningen?
A. p har operatorbetydelse, dvs. man utgår från
d
dt
= p.
Följande alternativ erbjuda sig:
w, E0
a. Man skriver ,7 (p, t) =
1
2j oL lp+ß-ja
COSCJj t-
p + ß+jto
eos (Oj t
1 _ . E°. rÅ-ß+i->)t. f c< ,
J " 2j coL L I +
+ je0»-/»)<. cos t. dt\, _ J-ß-i°>)t.
■{C, + Se(ß+I°,)t - eos ätt-d f}] = I* (t)
När man i vänstra membrum inför = p men i högra
at
membrum bibehåller tidsfunktionen, tillämpar "förskjut-
ningssatsen"
p + a
■f(t) = e~
1
eat ■ f (t) (specialfall
1
av regeln i ex. 11) samt låter — ge den indefinita
integralen, i stället för som vanligt den definita med o
och t som gränser, erhåller man alltså fullständiga
lösningen.
E0 >fi
b. Mansätter J(p)=Wi2- n 0 , –,,, , , ,, !
• sin o), t — e ~ ßt • |(w22 - oj) ■ cos \/tø — fi2 ■ t + fi ■
w22 + Wi2 , n
dvs. högra membrum ersättes med sin p-motsvarighet,
och använder (4) eller — enklare — expansionsteoremet.
Samma resultat erhålles, om man i 1* (t) bestämmer
integrationskonstanterna C\ och C2 av villkoren
7 (0) =7’ (0) =0.
c. Man söker först lösningen till 7" + 2 ß ■ V + wz- •
•7 = 1 för 7 (O) = 7’ (O) = 0, ev. genom direkt
användning av expansionsteoremet (högra membrum är 1).
Resultatet blir
Ii (0 = j22. [1 - e-" ■ (cos vW - ß> ■ t + ■
■ sin v/w22 — ß2 ■ /jj
Med stöd härav sammansätter man lösningen till den
för lösning givna differentialekvationen. Fig. 3 ger
erforderlig ledning. Betecknas högra membrum med
E (t), så har man
I(t) = E(o) ■ 7, (t) + \e’ (r) • !,(« — t) • dr = E (t) ■
O
■7,(0)— J E (r). ’’ Ii (t — r) ■ dr
o ar
det sista uttrycket uppkommet genom partiell
integration av det första. I föreliggande fall fås nu
I{t)= W’2 • % ■ ) cos 6), t-sina(t — T)-e~ß^-z) ■ dr = 1** (t)
o eo 1 L q
dvs. metoden ger, ehuru efter tråkigare räkningar,
samma resultat som föregående.
B. p förmedlar blott avbildning och är rätt och slätt
en komplex storhet.
a. Man sätter J (p) =rr 7 (t) enligt (2), så att J (p) =
00
= p ■ j e~pr • I (t) ■ d t, förlänger och integrerar differen-
o
tialekvationens vänstra och högra membrum, så att
00 00
p ■ ; e~PT ■ (7" + 2 fi ■ I’ + o82 • I) • dr = p ■ J e~PT ■
O o
, Eo
■ ey,2 • • cos wi t • dr.
eo, L
Härav fås för lim I (t) ■ e ’ = lim 1’ (t) ■ e~pt = 0,
< >ac’ <—>00
dvs. väsentligen Re p >0, efter några integrationer
term för term
j. , = A’» ji’______
’ 1 ’ o,i ’ (pä + 2 fip + o22) (p* + o ,2)
_P2 ■I(o) +j>-[2j8-1(0) + 7’ (0)1
Cp2 + 2 + «22) O;2 + Wi2)
Man kommer därför fram till en allmän lösning tj’p
I* (t). Speciellt för I (o) = I’ (o) = 0 kommer man till
I** (t) på samma sätt som enligt metod A ■ b eller A ■ c
+ 00 CO
b. Fouriers dubbelintegral I (t) = ^ I dco j 7 [r) ■
& jt i 1
— CO o
• ä’"’^-’’■ rfT användes i två etapper:
00 • ,4 \
Föi-st (— wä + 2 i • fia + w22) • ; I (t) ■ e’m(-t-r’ dr = wt2 •
• E% ■ Tcos w, t ■ e^V-^ ■ dr = w,
Wi L 0 Wi L
Sedan 111) -
()i-^()2.för/.Vw<ü
2 nj Wi L
Eo
w,1 (w22 — Wi2)2 + 4 fi
- - ■ f(a»2» - Wi1) • cos w, <+2ßwi ■ j (»!» — o*) (— <a« + 2jß<o + aj»)
’ "i L —00
w • e’wt -dw
/** (i). Integra-
104
4 juli 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
