Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
tionsvägen tages strax under reella axeln och
kompletteras med en halvcirkel i övre halvplanet (som ej ger
bidrag). Därefter summeras residue frän de fyra polerna.
I dylika fall är det tydligen hugget som stucket
om man följer linjen A eller B. Det blir inte stor
skillnad på räknebesväret.
Metod A ■ a har sedan länge använts vid
matematikundervisningen, A-b är Heaviside—Pleijels.3
Den är liksom den av Pleijel3 använda A ■ c
begränsad till uppsökning av sådana funktioner, vilka blott
existera för t > 0 och speciellt för t — 0 försvinna
jämte de n — 1 första derivatorna. B • a enligt
Carson—van der Pol är av sent datum, B • b däremot
känd av gammalt.
En typ partiella differentialekvationer, uppbyggd
på liknande sätt som de förut nämnda ordinära,
behandlas som följer.
Ex. 19. Vågutbredningsekvationen för en ledning
utan hänsyn till ohmska förluster eller avledning
32 E _ 1 32 E
3 æ2 ~ »>’ St2
("ledningsteoriens grundproblem").
Inför V(x, p) = p ■Se~pr ■ E (x, r) •dr \ E (x, t).
o
Förläng differentialekvationen med e~pT och
integrera!
32 E
c2 E
3~t2
■ dr varav med
vissa förutsättningar för t — cc (jfr ex. 18 B-a) och
Bep> O
Medan E (x, t) skulle satisfiera en partiell, skall V (x, p)
alltså satisfiera en ordinär differentialekvation. Om
E (x, t) = E’i (x, t) — 0, vilket medför att ledningen för
t < 0 skall vara spännings- och strömlös, fås alltså —
ehuru på ett omständligare sätt — samma ordinära
ekvation som genom att från början sätta ^
dt
: p. Man får
som bekant
V
+
V (x, p) = Ci (p) ■ e v + Ci (p) ■ e " .
En särskilt enkel lösning för C’i — 1 och C2 = 0 blir
enligt (4)
as + joo f . t. . > x
„ 1 r-£.x ept 1 für ’>ë
E = „ . • \ e v . . dp = <
J. P 0 »<-*-
X-]QO { v
dvs. en i positiva æ-riktningen fortskridande rektangulär
våg.
Även vid mera komplicerade problem,
differentialekvationer — ordinära eller partiella -— med variabla
koefficienter, äro bild- och operatormetoderna
räkne-mässigt sett ungefär likvärdiga. Farligt är det
emellertid att sammanblanda dem. Bildmetoden är med
avseende på formuleringen mera systematisk och
lättare att rekapitulera i minnet, men den har också
olägenheter.
Ex. 20. Bessels differentialekvation av ordningen
noll lyder
®2 ’ v" + x ■ y’ + x- • y = 0.
oo
Tnför i] (p) = p ■ J e~pz ■ y (r) • dr y (x) och förläng
o
som i föregående exempel, så fås
OO „ oo
p.Se-pr.T,.a l.dT + p.5e-
n u 1 n
pr
dy
dr
■ dr +
I de båda första integralerna bortskaffar man
derivatorna genom partiell integration, och man beaktar,
<]n j, 00 _
att —— ^ = (— l)n • J e pr ■ rn y ■ dr under förutsättning
att integralen är deriverbar. Härigenom får man, om
man förutsätter, att e~px ■ r- ■ y (r) och e~pz ■ r2 • y (r)
försvinna för r = oo, vilket i de flesta fall gäller för
Re p > o, samt att r2 • y’ (t) och r ■ y (r) försvinna för
t = O, dvs. att y (o) ej blir oändligt i mer än första
ordningen, ny differentialekvation, vilken är den givnas
bild i yj-planet, nämligen, om ’’ = z
^ [(*»’+ i)-«’ + j»-*] = o.
Dess lösning (fundamentalsystem) sammansättes av
.elementära funktioner, vilket däremot icke är fallet med
den ursprungligas. Avbildningen har därför skett på
ett mycket förmånligt sätt. Man finner nu
v ■■■– (A • , P + C2■ , p • log (p -f vy f 1)
Vi)2 + i s/p1 + i
I ex. 16 visas, huru man går tillbaka till funktioner
av x och får y (x) = Kx~ J0 (x) + üC2 • Y0 dvs.
fullständiga lösningen till differentialekvationen. De under
räkningens gång nödvändiga antagandena beträffande
funktionens förhållande i noll och oändligheten visa
sig hålla streck, och problemet är därför fullständigt
solverat.
Detta är ju ett metodiskt förfarande, som undviker
konsttrick. Men operatormetoden för också rätt
snabbt till målet, sedan man uppställt en hjälpsats
Antag att / (x) — a0 -j- a1 ■ x -f- a„ • x2 + ...
•.• xn-†{x)=a0.xn -f ai-ar" + 1-f-......+
cl" 1 / a, \
Bibehålles beteckningarna r\ (p) och y (x) från
föregående metod, kan man alltså sätta (— 1)" • p ■
d" 1
■ –––– v (p) som motsvarighet till xn • y [x). Bevi-
dpn p ’
1 xn
set förutsetter, att operatoriskt = .. Om man
pn ni
nu dessutom sätter — p, så att t. e. x" y" = p ■
dx
d2 V2 n d1
, —’-= p. så far man ater samma av-
dp2 p dp2 ’
bildande differentialekvation i p som förut och har
därmed växlat in på föregående spår till
slutstationen, som ju befanns vara den "matematiska"
lösningen. Emedan här y (O) ‡ O, förefaller det
enligt (3) och ex. 8 märkvärdigt, att bild- och
operatormetod ge samma differentialekvation i p, ty vid
dy
dx’
d ii
det att p ■ y = - är utmärkande för den senare. Om
dx
vi inskränka oss till lösningen J0 (x), är y (0) = 1
d2y
och alltså t. e. p2 • q (p) — P2 ~
den förra har man p ■ rj (p) — P’V (O)— , under
„ d2 p2 -rj (p) — p2 — p
dp2 p
P-dx2, ^ att
d2
P-dp*prl’ Över"
+ p ■ J
• y ■ dr = 0.
ensstämmelsen mellan de båda resultaten beror allt
så på att man deriverar de "tvivelaktiga" termerna
eller ytterst på att den från början givna
differentialekvationen hade en viss form. I flera andra fall,
där y (O) ‡ 0, leda däremot de olika metoderna
fi juni 1936
105
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
