Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 6. Juni 1936 - Operatorräkning efter olika metoder, av E. T. Glas - Notiser
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Teknisk Tidskrift
också till olika p-uttryck. Ett exempel härpå är
följande:
Ex. 21. Givet differentialekvationen y’ + xy — 0.
Ekvationen är separabel, och man ser genast, att lös-
ningen är y = K ■ e 2, så att y (0) = K ± 0.
Operatormetoden med † = p ger p ■ t] — p ■ = 0,
p\
varav j; = C • p ■ e2, som enligt ex. 17 ger oss det
riktiga svaret.
d 7i
Bildmetoden ger däremot » • n — v ■ . = v • y (o)
ap p
p’ p> _ p’
med lösningen 1] = C • p • e 2 — y (o) ■ p ■ e 2 ■ f e 2 ■ <lp,
elt uttryck, vars tolkning medför svårigheter.
Det sista exemplet är intressant, dels för att det
visar, huru symbolisk räkning överhuvudtaget icke
nödvändigtvis behöver medföra förenkling — i detta
fall blev det ju tvärtom en betydande komplikation
— dels för att en icke försumbar formell olägenhet
hos bildmetoden kommer i dagen.
Försiktighet beträffande förändringar, som
vidtagas i den ursprungliga ekvationens form, är av
behovet påkallad vid båda metoderna. Om man t. e.
i ex. 20 från början förkortar bort en faktor
CC. Sel
försvinner därmed lösningen Y0 (x) spårlöst.
Ex. 21 och 17 visa, att man i undantagsfall genom
jämförelse av lösningarna till differentialekvationer,
som äro varandras bilder, kan få fram ^-bilden
mycket enklare än med tillhjälp av (2) eller (4). Ett annat
exempel på samma sak lämnar xy’ — 7 = 0, som
av-dr\
bildas till
• v • , ’ = 1, så att — log p
ap
log x.
Reciproka relationer mellan olika funktioner kan
man finna genom symbolisk lösning av
differentialekvationer.
Ex. 22. Legendre’s diff. ekv. lyder:
(1 — x*) • y" — 2xy’ + n (n + 1) -y = 0 (« = 0, 1, 2 ...)
Operatormetoden ger med = p samt hjälpsatsen i
ax
ex. 20 efter några räkningar
n GO = c, • \JP ■ Jn +, (.jp) + (\ ■ s[p ■ •/_ (n + ^ (jp\
Sedan ger (4), där integrationsvägen fixeras till A i
fig. 4, en lösning
+iæ
1 (eP*
—jco
emedan halvcirkeln kring p = 0 i detta fall ej ger något
tillskott.
Härav fås efter omformning
+ 00
■e-ip*
1 /e~JP
2 TT ■ x—j J \Jp » + ?
(l>)-dl>-
Man vet nu, att lösningen till den givna
differentialekvationen med brukliga beteckningar för x2 < 1 blir
y — A’i • P„ (x) + K2 ■ Qn (x)
Pn (x) är liksom 2/1 (x) en helt och hållet reguljär
lösning (utom för p = ao, där man har en väsentlig
singularitet). Detta passar ej in på paret Qn (x) och
y-j (x). Efter konstantbestämning får man alltså
+ oo
fe ’,px
J vs.
Pn (x) eller klotfunktionen av första slaget och
ordningen n är en hel rationell funktion (æ2< 1), och den
riktiga integralframställningen fås enligt
operatormetoden, trots att 2/1 (0) =P„ (0) =j= 0 för alla jämna n.
(5) tillåter oss att utan vidare ånge det inversa
sambandet
+ 00
r_— i 1
v*/’ • ■’„1 u/0 ^ .
’ + - V.?
e~vx ■ P» (x) ■ äx
—00
Den "spektrala intensiteten" av - är enligt
v<
(6) –—— • 1’,, («). Dä Pn (co) endast existerar för
v/ 2 TT
— 1< b < † 1, ser man, att Besseluttryckets spektrum
är ett bandspektrum mellan frekvenserna — 1 och + 1.
Vid partiella differentialekvationer är
problemställningen vanligen den, att man söker solverande
funktioner, som uppfylla vissa givna gränsvillkor,
t. e. att lösningen för x — 0 skall gå över i en
föreskriven funktion och försvinna för x— 00, eller
också att man är på jakt efter en partikulär lösning
överhuvudtaget. Vid symbolisk behandling uppkommer
en ordinär differentialekvation (jfr ex. 19), som först
skall expedieras, innan man kan gå vidare. Två skal
skola så att säga knäckas, ev. båda symboliskt.
Exemplen bli skrymmande och ge egentligen intet
för metoden nytt. Fullständiga räkningar återfinnas
exempelvis hos van der Pol (Annalen der Physik, 5.
Folge, Bd. 6 1930, sid. 273 etc., där Sommerfelds
utbredningsteori för radiovågor rekapituleras
symboliskt samt1 sid. 27, ex. 4, där en elegant våglösning i
cylinderkoordinater utvecklas).
Litteratur.
1 En sammanfattning- lämnas 1 U. R. S. I. Document
A. G. 1934 Comm. V "The symbolic calculus" by Balth. van
der Pol. Utförlig litteraturförteckning — dock saknar man
varje omnämnande av Pleijels arbeten, vilket torde
sammanhänga med van der Pols markerade ovilja mot
operatorvägen — återfinnes här, upptagande närmare femtiotalet
referenser.
2 Breisig: Theoretische Telegraphie. 2 uppl., 1924, sid.
203—216, 432—455.
3 Pleijels arbete "Om beräkning av överspänningar",
Elektroteknik 1914, m. fi. samt i synnerhet föreläsningarna i
K. T. H:s lokaler v. t. 1935. (Thamiska föreläsningar.)
NOTISER
Tonfrekvensspektrometer. Undersökning och analys
av de i ett ljud eller en elektrisk spänning ingående
frekvenserna får allt större användning. För att
bekämpa störningar och buller av olika slag måste man känna
deras karaktär. Härav kan man sluta sig till orsakerna
filter
F&r
. —I p^ |, ro^rande omkopplare
’ "" forsfär-
modu- band-käre
o.lih-latur filter rik tare
Spänningsdelare
mikrofon
eller
mät-spànning
förstärkare H h ij^
Brouns rör
amplitudspektrum
Fig. 1. Principschema.
106
4 juli 1936
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
