Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Elektroteknik
ker detta med att säga, att effekten är en "invariant"
under transformationen. (Med invariant förstås en
funktion av koefficienterna av en storhet, som
bibehåller sin form, när storheten transformeras lineärt.)
Om den totala effekten i alla ledarna fore
transformationen betecknas med P och efter
transformationen med P’, är
P = P’ = e ■ i — e’ ■ i’ (15)
men enligt ekvation (14) är
i —C- i’
Härav följer att P = e • i = e • C • i’
Från (10) fås e-C = Cre
och därför blir P — Cr e ■ i’ — e’ ■ i’
Om i denna ekvation i’ elimineras, erhålles
Cre
(16)
eller
Ct~l-e’ = Z-C i
e’ = Ct ■ Z ■ C ■ i’
Om däremot med em menas "vilken-som-helst" av
de tre vektorerna ea, eb eller ec, beroende på vilken
bokstav m ersätter, så behöves endast ett
summa-tionstecken ty med
= iz»
(21)
eller e = Ct~1 • e’
Det framgår av likheterna (14) och (16) att
spänning och ström transformeras på olika sätt. Den rent
fysikaliska förklaringen är att söka i det faktum, att
när man seriekopplar flera ledare, spänningarna
adderas, medan strömmen är en och densamma för
alla ledarna, då däremot vid parallellkoppling
strömmarna adderas, medan spänningen är en och
densamma för alla ledarna. Spänning och ström
transformeras därför i ett på sätt och vis "omvänt" förhållande.
Även impedansen Z undergår givetvis en
transformation, när ledarna kopplas enligt figur 2.
Ursprungligen var 1 i ■ i * i
e — Z - i, (17)
som efter substitutionen enligt ekvationerna (15) och
(16) får utseendet
menas då vilken som helst av de tre komponenterna
ea, eb eller ec och därför på sätt och vis alla tre,
eftersom kollektivvektorn e i alla fall icke innebär
summan av dessa komponenter (se ovan).
Det är tydligt, att summeringen alltid företages
med hänsyn till det index, som förekommer på två
ställen i samma term. När helst två likadana indici
förekomma i samma term, kan man därför underför
stå summering, vilket gör 2 överflödigt.
Ekvation (17) är skriven med s. k. dyadisk
beteckning. Med tensoranalysens beteckningssätt kan
samma ekvation skrivas
em = Zmvin (22)
Det dyadiska skrivsättet är här tydligen enklare
än tensorskrivsättet. Detta är dock endast fallet, när
lineära och enkla kvadratiska ekvationer förekomma.
I mera komplicerade fall kan det dyadiska
beteckningssättet icke användas.
I det föregående har framhållits, att spänning och
ström stå i omvänt förhållande. Spänningen har
därför ett lägre eller "sänkt" index em, under det
strömmen har ett övre eller "höjt" index im. Den
förra (em) kallas en "kovariant" vektor, varmed
förstås en funktion av bådo koefficienter och variabler
av storheter, som bibehålla sin form när storheten
transformeras lineärt, under det den senare (im)
kallas en "kontravariant" vektor.
Vidare skrivas spänningar horisontellt
(18)
men ekvationen (17) skall i det nya
koordinatsystemet ha samma utseende, dvs.
e’ — Z’ • i’
-
= K, eb, ec)
(19) under det strömmar skrivas vertikalt
och därför måste Z’ enligt (18) kunna skrivas
Z’ = Cf Z ■ C (20)
Uträkningen av Z’ tillgår på Sfi Sätt, cltt man först
utför multiplikationen C, • Z och sedan multiplicerar
denna produkt med C. Dessa multiplikationer utföras
på samma sätt som ovanstående skalära produkter av
vektorer och matriser.
Tensoranalysens beteckningssätt.
Ekvation (1 a) är tydligen summan av tre
spänningar och kan därför skrivas
c
— £ /Jarjn
n — a
I denna ekvation kan n antaga i tur och ordning de
tre värdena a, b och c. Summan av de tre så
erhållna termerna ger därför likheten (1 a), eftersom
Zab = Xat (se ovan).
Önskas en ekvation för den "kollektiva vektorn"
e måste ytterligare en summering företagas, dvs.
c c
im = b
eller ib
Transformationsekvationer i tensorisk beteckning.
1. Alldenstund indici hos matriser, t. e. hos
impedansen Zmn, ha ett motsvarande beteckningssätt,
kunna sådana impedanser hava övre eller undre
indici i fyra olika kombinationer, såsom: Zmn, Zmn,
Zmn, eller Zmn. Punkterna ha endast satts ut för att
klargöra ordningen bland indici.
2. Gamla och nya koordinatsystem betecknas med
olika alfabet. Så t. e. skrives transformatormatrisen
C med både m och a och därvid förstås att C™
transformerar strömmen ia till im. Ekvation (14) i
tensorbeteckning blir då
im = ia Cm
7
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
