Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
Väg-och Vat ten byg gnad skon st
nom brons egenvikt av -f- 20 t och vid fullbelastning
av bron av — 80 t. Yi skola bestämma
transversal-svängningarnas egenfrekvens under antagande av
ledade knutpunkter.
Sättes
y = 7,85 t/m3; E = 21 • 106 t/m2; g = 9,si m • sek2
och bildas
a = \/E– (J = 5 120 m/sek samt = 316 sek-1
Vy 21
blir med l/r= 100 ak — 2070 kg/cm2
varav erhålles
51 = 316 K ITTöö o ocT
För egenvikt fås med F = 171,3 cm2 och a„ — 116
kg/cm2 qx = 10,2/sek. Vid fullbelastning bli
motsvarande värden o„= — 467 kg/cm2 och = 8,7/sek.
Skillnaden mellan frekvenserna uppgår alltså i
detta fall till 18 %.
II. Allmän lösning av ekv. (8).
Skriva vi i stället för (9) allmännare
y = fi [x) sin a t -f- f2 (x) eos a x......... (19)
där †t(x) och f2(x) beteckna godtyckliga funktioner
av x, erhålles, om detta uttryck på y och därav
erhållna derivator insättas i (8),
— a2 f{x) = °£ f" [x) - r2 fM(x)
hi
eller
= 0......(20)
varvid f(x) kan sättas lika med f^x) eller f2{x).
Integralen till denna totala differentialekvation
giver alltså lösningen enligt ekv. (19).
Sättes:
r2=(t)+(2ra)3
och
så blir
/ [x) — Ai Sin ßi x -j— A2 Cos ßt x -f- Bx sin ß2 x -f
-f ß2 eos ß2 x .................. (22)
allmänna integralen till ekv. (20), i vilken även den
speciella lösningen enligt ekv. (9) inbegripes.
För ren böjning, dvs. med an — 0, blir ß1 = ß2 —
== |/— och man erhåller den bekanta lösningen för
transversalsvängningar för detta fall.
Härnäst skall undersökas, om det i kap. I visade
sammanhanget mellan knäckpåkänning och
egenfrekvens är av allmännare natur.
Av ekv. 19 följer, att all svängning upphör, om
a — 0. Då a är proportionell mot strävans
svängningsfrekvens, blir för a — 0 även q 0.
Antages, att strävan åverkas av tryck och skrives
i stället för ekv. (20):
eller
■r(x) + £Èf(z) = c 0 + CiX
erhålles med
= —
r2E IE
f"(x) + ~f(x)=c0 + cix......... (23)
Detta är emellertid ingenting annat än
differentialekvationen för en tryckt strävas elastiska linje, ur
vilken ekv. knäckbelastningen kan härledas, om
hänsyn tages till förefintliga randvillkor.
Det i kap. I visade sambandet mellan egenfrekvens
och knäckbelastning hos en fritt upplagd sträva
gäller alltså allmänt för alla fall, vid vilka
randvillkoren för ekvationerna (22) och (23) äro identiska.
III. Svängningar av en i båda ändar inspänd balk
(fig. 3).
Svängningar av en balk med i båda ändarna lika
upplagsförhållanden kunna uppträda på två sätt.
1) axialsymmetriska svängningar med en genom
bal-kens mitt gående symmetriaxel (fig. 4) och
2) polarsymmetriska svängningar med en
symmetri-pol i balkens mitt (fig. 5).
Man inser lätt, att den långsammaste svängningen
av strävan är en axialsymmetrisk sådan.
För denna måste, om origo antages i balkens mitt,
f{x) endast bestå av sådana funktioner av x, som
framställa axialsymmetriska utböjningar, dvs.
f [x) = A2 Cos ßi x -+ ß2 cos ß2 x......... (24)
Randvillkoren äro i detta fall
/(*) = 0; /’(£)= 0
Införas för avkortning
l l
Ai = ßi 2> = *
erhålles enligt ekv. (24) och ur denna härlett uttryck
på f(x)
A2 Cos -f- B2 cos X2 = 0
Xt A2 Sin — X2 B, sin X2 — 0
Uttrycket för bestämning av frekvensen bestäm-
[r+°i) ............ (21)
99
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
