Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Sidor ...
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
VÄG. OCH VATTENBYGGNADSKONST SAMT HUSBYGGNADSTEKNIK
En trigonometrisk ansats prövas:
o nz , 3 nz
ß = ax eos + a3 eos —–-.........
t i
Denna ansats ger för den fria vippningen goda
resultat. Ex. har Timoshenko påvisat, att i det fall, som
motsvarar det här betraktade bundna vippningsfallet,
nämligen med fri uppläggning i vertikalled och med
ändarna vertikalt gångjärnslagrade samt med
punktlast i mitten av balken, felet är mindre än 1,5 %,
då man tar med endast en term. Om två termer
medtagas, varvid storleken på az bestämmes i förhållande
till at så att man får min. av P, blir felet enligt samme
författare mindre än 0,1 % (1).
Med två termer medtagna i den ansatta serien och
med de olika integralerna lösta och deras värden
insatta i ekv. (27) erhålles:
på vippningskraften, som med 10 % avvek från det
riktiga värdet. Om man tog med 2 termer i serien
och bestämde koefficienten för den andra termen så,
att man fick min. av P, blev felet 0,33 %. Emellertid
TtZ
ställs man vid bestämmandet av as i ß — a1 eos
+ as eos
3 nz
l
inför ett min.-problem, vars lösning
P =
/r, Ä2 ^ A2\M4
) +C^2
hin2
-=7 I -r-r • I
2 aj2 9 Ji2
2\16 01 +X + T6"
«32 +
10
T
För a3 = 0, dvs med endast en term medtagen i den
ansatta serien erhålles:
P =
V2
(29)
Noggrannheten hos värdet på vippningskraften,
som man får med användande av denna ansats, skall
i det följande bedömas i ett konkret fall genom
jämförelse med det värde på vippningskraften, som
erhålles ur differentialekvationen enligt metod 1 el. 2 a.
Behandlingen avser en balk med B1 — 57,00 tm2,
C = 2,38 tm2, h = 0,50 m, l — 10 m. Enligt ovan
beskriven metod sökes det minsta värde på k, som
möjliggör en från den trivala O-lösningen skild lösning
för differentialekvationen (11).
m<Vß_dl
ds3 dz
k-T)-
2kz-f- — kßz:=0=0.
az
Här är m= — (0,5)2 57 = 7,125. Efter principer,
an-dt
givna i metod 1, erhålles genom passning det sökta
värdet på k — 0,3981, vilket ger vippningskraften
P — 3,185 ton.
Yid den trigonometriska ansatsen erhålles, om
endast 1 term medtages i lösningen, ur ekv. (29)
P = 3,51 ton. Om man tar med två termer i den
trigonometriska ansatsen, varvid koefficienten as
bestämmes så att man får min. av P, erhålles P = 3,196
ton.
Ansatsen med trigonometrisk serie gav i det
undersökta fallet med endast 1 term medtagen ett värde
är för tidsödande och besvärlig för att i ett
praktiskt fall kunna utföras inom rimlig tid. På grund
härav och med tanke på att man vid medtagande
av endast 1 term får ett resultat, vars fel får anses
otillåtet, måste en annan ansats än den
trigonometriska göras.
Den funktion som skall antas för ß bör, förutom
att den uppfyller gränsvillkoren, till sin struktur vara
_______ så beskaffad, att den ger
lägsta möjliga värde på
vippningskraften. En
ansats, som ger min. av inre
arbete undersökes:
Enl. ekv. (20) är det inre
arbetet vid vippningen
II2
n2 9 n2
’ l2" + P
■ «i)
(28)
II3
A,
r h>id*ß
=JBlJ\d?
, 2 U
’) dz+ f
4m-
dz.
För bestämning av den funktion ß som ger
A{ = min. användes variationskalkyl, varvid med den
A2 h2
ovan använda beteckningen D1 — -)- D — = m
erhålles differentialekvationen:
dz4- d z
(30)
d*ß
Genom utnyttjande av gränsvillkoren ß = = 0
dz
: 0 erhållas integrations-
l , dß
för z — — och -f- = 0 for z -
2 dz
konstanterna, och lösningen till denna
differentialekvation blir:
ß = A
z-2 +
a sinh ( J–—)
\2 a a!
cosh
2 a
.(31)
där
A2
2 h
__oo _
= 2
Om uttrycket för ß enligt ekv. (31) insättes i ekv. (27)
och de olika integralerna lösas samt uttrycket för P
hyfsas, erhålles:
P =
2 C
l
2 a’
tgh
l
Ya
h- a,
1
4(COSh2Za)
21 [-2 a) 2]
cosh
l
2a
(32)
tgh
2 a
2 a
25 jan. 1941
.5
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
