Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 20. 15 maj 1948 - HADIR - Aktiebolaget Färe Armaturfabrik - AB Elektro-apparat - Insänt: Approximativ integration, av Bjarne Huldén och E Palmblad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
332
TEKNIS K TIDSKRIFT
nämningen Differdingen. Häftet ger belägg för det goda
resultat som firman har nått genom att följa sitt motto
"Essayons".
Aktiebolaget Färe Armaturfabrik, Sibbhult.
"Huvudkatalog nr 47" är en diger lösbladskatalog över fabrikens
standardtillverkning av armatur. Den väl uppställda
innehållsförteckningen i två steg gör den lätt att slå i. Den
häftade katalogen "Pumpar" ger tekniska uppgifter om en
annan gren av firmans produktion.
AB Elektro-apparat, Göteborg. Prospekt 1547 "AEA
elektriskt uppvärmda tork- och andra
värmebehandlingsugnar av konvektionstyp".
Insänt
Approximativ integration
Dr-ingenjör E Palmblads artikel i Tekn. T. 1947 s. 845
—848 var mycket instruktiv och säkerligen lärorik för
många ingenjörer. Ämnet ingår sedan 1944 i
undervisningen vid Tekniska Högskolan i Finland, men intill dess
hörde endast trapetsformeln och Simpsons regel till den
nydimitterade ingenjörens matematiska standardutrustning.
I slutomdömet om de olika metoderna säger Palmblad:
"Gauss’ formler äro i noggrannhet vida överlägsna alla
andra, men de äro omständliga i praktiskt bruk, emedan
ordinatorerna icke blott måste multipliceras med sina
koefficienter, utan även särskilt beräknas till sitt läge. De
användas därför, utom av rena matematiker, mera sällan
i praktiken." Frånsett den omständigheten att rena
matematiker knappast använda sig av approximativa metoder,
är detta enligt min åsikt att orättvist utdöma Gauss’
metod för tekniska ändamål. Ty vid jämförelsen med
Newton—Cötes’ metod, som Palmblad slutligen varmt
förordar, har han utgått från samma antal ordinator eller
delningar och inte från den jämförelsebas som är den
riktigare, nämligen samma grad av noggrannhet. Man borde
alltså jämföra metoderna utgående från ett visst
föreskrivet krav på noggrannhet och därefter avgöra vilken
av dem som är bättre lämpad för praktiskt bruk.
Genomräknade exempel visar att de båda metoderna är i det
närmaste lika noggranna om antalet ordinator vid Gauss’
metod är tre och vid Newton—Cötes’ fem, dvs. fyra
delningar för den senare. Detta motsvarar även det resultat
man kommer till om man jämför de båda metodernas
byggnad. För Gauss’ integrationsmetod gäller allmänt, att
den med n ordinator ger exakt resultat om
integrandfunk-tionen är ett allmänt polynom av graden 2 n — 1 eller
lägre. (Genom n Gauss-punkter kan man alltså lägga
oändligt många polynomkurvor av graden 2n — 1, men de har
alla samma integralvärde inom den givna intervallen!) Vid
Newton—Cötes’ metod åter får man med n ordinator exakt
integral för polynom av högst graden n — 1 eller n
oberoende på om n är jämnt eller udda. Härav följer att Gauss’
metod med n ordinator för polynom exakt motsvaras av
Newton-—Cötes’ metod med 2 n — 1 ordinator, dvs. 2 n — 2
delningar. Motsvarigheten gäller närmelsevis även för
andra funktioner än polynom, vilket man kan övertyga
sig om med hjälp av exempel eller genom att jämföra de
båda metodernas resttermer.
Vid praktiskt ingenjörsarbete av detta slag torde man
mestadels kunna nöja sig med ett fel av ca + 0,1 %,
vilket ungefär motsvarar undre gränsen för noggrannheten
vid räkning med en 25 cm räknesticka. Med tre
Gauss-eller motsvarande fem Newton—Cötes-ordinator uppfylles
detta krav på noggrannhet i de flesta fall. Ett polynom
av femte graden ersätter tillräckligt väl t.o.m. så pass
invecklade funktioner som Gauss’ sannolikhetsfunktion och
den transcendenta funktionen y t= 0,3 • e O?3* ■ sin x,
vilken Palmblad använt i sitt Ex. 2. Endast i undantagsfall
torde man vid ingenjörsarbete behöva tillgripa ett
polynom av sjunde graden, dvs. fyra Gauss-ordinator eller sex
Newton—Cötes-delningar. Utom integrandkurvans
"vågig-het" (högre derivator) är härvid integrationsvägens eller
grundlinjens längd av mycket stor betydelse. Ett exempel
belyser saken. Oin man tillämpar Gauss-metoden med tre
ordinator på en sinuskurva så växer felet med en faktor
som är av samma storleksordning som 7:e potensen
av-grundlinjens längd. En fördubbling av denna längd
medför alltså att felet växer med en faktor av samma
storleksordning som 27i= 128!
Om man nu på basen av lika exakthet jämför de båda
metodernas arbetsdryghet vid praktisk tillämpning så
måste man ställa frågan: uppväges det ökade antalet
ordinator vid Newton—Cötes’ metod av att grundlinjens
delning blir jämn? Enligt min åsikt kan man ej generellt
besvara frågan med ja. I de fall där en lämplig indelning
av grundlinjen redan finnes äro Newton—Cötes’ formler
att föredra, ävensom ofta vid analytiskt uttryckta kurvor
som innehåller trigonometriska funktioner. Men om, såsom
i många fall vid praktiskt ingenjörsarbete,
integrandfunk-tionen är grafiskt given och någon indelning av
grundlinjen inte föreligger, då är enligt min åsikt Gauss-metoden
den snabbare. Detta gäller speciellt den med tre
ordinator, ty den mellersta lägges mitt på bassträckan och de
yttre står symmetriskt på vardera sidan. Med
räknestickan går det mycket snabbt att pricka in ordinatornas
läge, mäta deras längd och multiplicera dem med sina
vikter varefter en addition av tre termer samt en
multiplikation med baslängden återstår. Sedan en längre tid
tillbaka har jag vid bearbetning av värmetekniska
mätresultat tillämpat denna Gauss’ integrationsmetod och
funnit den mycket användbar. Den ger goda närmevärden
ännu vid kurvor som motsvara 8:e grads polynom. I de
fall där noggrannheten med tre ordinator ej varit
tillräcklig, har jag dock ej gått till fyr-ordinators metoden utan
efter lämplig tudelning av baslinjen tillämpat
tre-ordina-tors metoden två gånger. Härvid måste man således räkna
med sex ordinator i stället för med fyra men uppnår
fördelarna att noggrannheten blir större och att man ej
behöver hålla reda på mera än en kort serie talvärden, nämligen
V^3/5, 18 och 5—8—5. (Det första värdet anger
ytterordi-natornas avstånd från mittordinatan om grundlinjens halva
längd är 1.) En synpunkt som talar till förmån för metoder
med mindre antal ordinator är dessutom, att antalet
arbetsoperationer blir färre och därmed även möjligheterna till
felavläsning och felräkning.
Med ovanstående har jag velat dra en lans för Gauss’
formler som jag funnit väl lämpade för praktiskt bruk.
.lag vill om dem säga detsamma som Palmblad i sin
artikel yttrar om Newton—Cötes’ formler: "De utgöra (då)
ett utomordentligt värdefullt hjälpmedel. Tyvärr ha de
icke funnit den användning i praktiken som de förtjäna."
Bjarne Huldén
Till diplomingenjör Huldéns inlägg vill jag endast
konstatera, att var och en finner den formel bäst, som han
vant sig vid i sitt arbete. I skeppsbyggeriet användes,
såvitt mig bekant, så gott som uteslutande Simpson’s regel,
men jag har också träffat skeppsbyggare, som använde
Tschebyscheffs formler. Utom Huldén har jag blott
funnit en person, som föredrar Gauss; det var en
matematikprofessor!
För min del håller jag mig till Cötes och har med hans
formler vunnit de bästa tänkbara resultat. Emellertid var
för mig noggrannheten i Gauss’ formler frestande och
därför försökte jag en gång utarbeta en avart av dessa i det
att jag ställde ordinatorna på jämna hundradedelar av
grundlinjen och beräknade motsvarande vikter enligt
Lagrange. Noggrannheten blev visserligen något bättre än
enligt Cötes men icke sd mycket bättre, att det kunde
föranleda till att frångå den bekväma och i många fall
redan befintliga indelningen av grundlinjen i lika delar.
Jag håller därför fortfarande på Cötes formler.
E Palmblad
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
